Questão 3. As extremidades de um cocho de 2 m de comprimento são trapézios isosceles de bases medindo 10 cm e 30 cm e altura
20 cm .
a) Calcule o volume desse cocho.
b) Calcule a taxa em que o nível sobe nesse cocho, quando a profundidade da água é de 15 cm , se o mesmo é enchido a uma vazão de 20 \mathrm{~cm}^{3} / \min.

Passo 1

O enunciado dá um cocho de comprimento 2 m (ou seja, 200 cm) cujas extremidades são trapézios isósceles de base menor b=10 cm, base maior B=30 cm e altura H=20 cm.
a) Pedem o volume total do cocho.
b) Quando ele é cheio a uma vazão de 20 cm ^3/min, querem a taxa de variação do nível da água y no instante em que y=15 cm.
Conteúdo necessário: cálculo de volume por área da seção transversal e razões de semelhança para achar a seção para uma dada profundidade y, depois derivadas implícitas para relacionar \frac{dV}{dt} e \frac{dy}{dt}.

Passo 2

Área do trapézio que é a seção completa do cocho:
A_{\text{trap}} = \frac{1}{2}\,(b + B)\,H = \frac{1}{2}\,(10 + 30)\,20 = 400\text{ cm}^2.
Como o comprimento é 200 cm, o volume total é
V = A_{\text{trap}}\times 200 = 400\cdot 200 = 80\,000\text{ cm}^3.

Passo 3

Quando o nível da água tem profundidade y\le H, a seção é outro trapézio cujas bases são b=10 cm e
w(y)=10 + \bigl(B-b\bigr)\frac{y}{H} =10 + 20\frac{y}{20} =10 + y.
Logo a área em função de y é
A(y) = \frac{1}{2}\bigl(b + w(y)\bigr)\;y = \frac{1}{2}(10 + (10+y))\,y = \frac{1}{2}(20+y)\,y.

Passo 4

O volume de água até altura y vale
V(y) = \text{comprimento}\times A(y) =200\Bigl(\tfrac12(20+y)\,y\Bigr) =100\,y^2 + 2000\,y.

Passo 5

Derivando em relação ao tempo t,
\frac{dV}{dt} =\bigl(200\,y + 2000\bigr)\frac{dy}{dt}.

Passo 6

No instante em que y=15 cm e \frac{dV}{dt}=20 cm ^3/min, temos
20 = \bigl(200\cdot 15 + 2000\bigr)\frac{dy}{dt} =5000\,\frac{dy}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} = \frac{20}{5000} = 0{,}004\text{ cm/min}.

Resposta

a) 80\,000 cm ^3.
b) \displaystyle\frac{dy}{dt}=0{,}004 cm/min.

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