Questão 2. Considere a função f(x)=\left(x^{2}-2 x-8\right) e^{x}.
a) Determine os zeros de f; as assintótas de f, caso existam; os intervalos em que f é crescente e decrescente; os intervalos em que a concavidade de f é positiva e negativa.
b) Faça o esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo de
f(x) = (x^2 - 2x - 8)\,e^x
— em particular: zeros, assíntotas, intervalos de crescimento/decrescimento (via f') e de concavidade (via f'') — e, por fim, o esboço do gráfico. Vamos usar que e^x>0 para simplificar sinais, diferenciar produto para obter f' e f'', e analisar limites para assíntotas.

Passo 2

Para encontrar os zeros resolvemos
x^2 - 2x - 8 = 0,
cuja fórmula dá
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2},
isto é
x = 4 \quad\text{ou}\quad x = -2.
Como e^x\neq 0, estes são todos os zeros de f.

Passo 3

Domínio de f é \mathbb{R}, logo não há assíntotas verticais.
Para x\to -\infty, temos
x^2 - 2x - 8 \sim x^2 \quad\text{e}\quad e^x\to 0 \;\Longrightarrow\; f(x)\to 0^+,
então y=0 é assíntota horizontal à esquerda.
Para x\to +\infty, f(x)\sim x^2e^x\to +\infty, sem assíntota horizontal nem oblíqua.

Passo 4

Derivando por produto:
f'(x) = \bigl((2x - 2) + (x^2 - 2x - 8)\bigr)e^x = (x^2 - 10)\,e^x.
Como e^x>0, o sinal de f' vem de x^2 -10:
f'(x)>0 \quad\text{se }x^2>10\;\bigl(x<-\sqrt{10}\text{ ou }x>\sqrt{10}\bigr),
f'(x)<0 \quad\text{se }- \sqrt{10}<x<\sqrt{10}.
Portanto f cresce em (-\infty,-\sqrt{10}) e (\sqrt{10},\infty), e decresce em (-\sqrt{10},\sqrt{10}).

Passo 5

Segunda derivada:
f''(x)=\bigl(2x + (x^2 - 10)\bigr)e^x = (x^2 +2x -10)\,e^x.
Zerando x^2+2x-10=0
x = -1 \pm \sqrt{11}.
Assim f''>0 (côncava para cima) quando x< -1-\sqrt{11} ou x> -1+\sqrt{11}, e f''<0 (côncava para baixo) em -1-\sqrt{11} < x < -1+\sqrt{11}.

Passo 6

Resumo dos pontos notáveis:
  • Zeros em x=-2 e x=4.
  • Extremo local de máximo em x=-\sqrt{10}.
  • Extremo local de mínimo em x= \sqrt{10}.
  • Pontos de inflexão em x=-1-\sqrt{11} e x=-1+\sqrt{11}.
  • Assíntota horizontal y=0 para x\to -\infty.

Passo 7

Comportamento global e esboço qualitativo:
  • Para x\to -\infty, f(x)\to0^+ junto à assíntota y=0.
  • Cresce até x=-\sqrt{10} (máximo local positivo), depois decresce passando pelo zero x=-2, atingindo f(0)=-8 e chegando ao mínimo local negativo em x=\sqrt{10}.
  • Em seguida cresce, cruza o eixo em x=4 e tende a +\infty.
  • A concavidade muda em x=-1-\sqrt{11} e x=-1+\sqrt{11}, conforme calculado.

Resposta

a)
Zeros: x=-2 e x=4.
Assíntota horizontal: y=0 para x\to -\infty.
Crescimento: (-\infty,-\sqrt{10}) e (\sqrt{10},\infty).
Decrescimento: (-\sqrt{10},\sqrt{10}).
Concavidade para cima: (-\infty,-1-\sqrt{11}) e ( -1+\sqrt{11},\infty).
Concavidade para baixo: (-1-\sqrt{11},-1+\sqrt{11}).
b)
O gráfico apresenta assíntota y=0 à esquerda, máximo local em x=-\sqrt{10}, cruza o eixo em -2, atinge f(0)=-8, mínimo local em x=\sqrt{10}, cruza de novo em 4 e cresce sem limite para +\infty; há pontos de inflexão em x=-1\pm \sqrt{11}.

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