Questão 2. Considere a função
.
a) Determine os zeros de
; as assintótas de
, caso existam; os intervalos em que
é crescente e decrescente; os intervalos em que a concavidade de
é positiva e negativa.
b) Faça o esboço do gráfico de
.
a) Determine os zeros de
b) Faça o esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo de
— em particular: zeros, assíntotas, intervalos de crescimento/decrescimento (via
) e de concavidade (via
) — e, por fim, o esboço do gráfico. Vamos usar que
para simplificar sinais, diferenciar produto para obter
e
, e analisar limites para assíntotas.
Passo 2
Para encontrar os zeros resolvemos
cuja fórmula dá
isto é
Como
, estes são todos os zeros de
.
Passo 3
Domínio de
é
, logo não há assíntotas verticais.
Para , temos
Para
então
é assíntota horizontal à esquerda.
Para ,
, sem assíntota horizontal nem oblíqua.
Para
Passo 4
Derivando por produto:
Como
, o sinal de
vem de
:
Portanto
cresce em
e
, e decresce em
.
Passo 5
Segunda derivada:
Zerando
dá
Assim
(côncava para cima) quando
ou
, e
(côncava para baixo) em
.
Passo 6
Resumo dos pontos notáveis:
- Zeros em
e . - Extremo local de máximo em
. - Extremo local de mínimo em
. - Pontos de inflexão em
e . - Assíntota horizontal
para .
Passo 7
Comportamento global e esboço qualitativo:
- Para
, junto à assíntota . - Cresce até
(máximo local positivo), depois decresce passando pelo zero , atingindo e chegando ao mínimo local negativo em . - Em seguida cresce, cruza o eixo em
e tende a . - A concavidade muda em
e , conforme calculado.
Resposta
a)
Zeros: e
.
Assíntota horizontal: para
.
Crescimento: e
.
Decrescimento: .
Concavidade para cima: e
.
Concavidade para baixo: .
Zeros:
Assíntota horizontal:
Crescimento:
Decrescimento:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
b)
O gráfico apresenta assíntota à esquerda, máximo local em
, cruza o eixo em
, atinge
, mínimo local em
, cruza de novo em
e cresce sem limite para
; há pontos de inflexão em
.
O gráfico apresenta assíntota