Calcule a derivada das funções a seguir.
g(x)=-integrale^x^2(1+ln (t))^20 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função g(x) = -integrale^x^2(1+ln (t))^20 , dt . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções definidas por integrais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos. A função g(x) é definida como a integral de (1 + ln(t))^20 de e^x até 2 . Ou seja, a área sob a curva de (1 + ln(t))^20 no intervalo de e^x a 2 .

Passo 3

Para encontrar a derivada de g(x) , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar integrais onde os limites dependem da variável x . A fórmula geral é:
ddx ( integrala(x)^b(x) f(t) , dt ) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
No nosso caso, a(x) = e^x e b(x) = 2 .

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula. Primeiro, derivamos os limites:
a'(x) = ddx e^x = e^x
b'(x) = ddx 2 = 0

Passo 5

Agora, avaliamos a função f(t) = (1 + ln(t))^20 nos limites a(x) e b(x) :
f(a(x)) = (1 + ln(e^x))^20 = (1 + x)^20 (já que ln(e^x) = x) á
f(b(x)) = (1 + ln(2))^20

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo:
g'(x) = f(2) cdot 0 - f(e^x) cdot e^x = 0 - (1 + x)^20 cdot e^x = -e^x(1 + x)^20

Resposta

A derivada da função é g'(x) = -e^x(1 + x)^20 .

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