Encontre o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelas curvas
y=x^2-6 x+10, y=-x^2+6 x-6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas y = x^2 - 6x + 10 e y = -x^2 + 6x - 6 em torno do eixo y . Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso é importante para saber os limites de integração. Para isso, igualamos as duas funções:
x^2 - 6x + 10 = -x^2 + 6x - 6

Passo 3

Resolvendo a equação:
x^2 - 6x + 10 + x^2 - 6x + 6 = 0 2x^2 - 12x + 16 = 0 x^2 - 6x + 8 = 0
Agora, fatorando:
(x - 2)(x - 4) = 0
Então, as soluções são x = 2 e x = 4 . Essas são as abscissas dos pontos de interseção das duas curvas.

Passo 4

Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra entre x = 2 e x = 4 . Vamos pegar um valor, por exemplo, x = 3 :
y = 3^2 - 6 cdot 3 + 10 = 9 - 18 + 10 = 1 y = -3^2 + 6 cdot 3 - 6 = -9 + 18 - 6 = 3
Então, y = -x^2 + 6x -6 está acima de y = x^2 - 6x +10 nesse intervalo.

Passo 5

Como vamos girar em torno do eixo y , é conveniente usar o método dos discos (ou anéis). A fórmula para o volume V é:
V = pi integrala^b [ R(y)^2 - r(y)^2 ] dy
Onde R(y) é o raio externo e r(y) o raio interno em função de y .

Passo 6

Primeiro, precisamos reescrever as equações das curvas em termos de x . Vamos resolver para x :
Para y = x^2 - 6x +10 :
x^2 - 6x + (10 - y) = 0 x = 6 pm raiz36 - 4(10 - y)2 = 6 pm raiz4y - 42 = 3 pm raizy -1
Para y = -x^2 + 6x -6 :
-x^2 + 6x + (-6 - y) = 0 x^2 - 6x + (6 + y) = 0 x = 6 pm raiz36 - 4(6 + y)2 = 6 pm raiz36 -24 -4y2 = 3 pm raiz3 - y

Passo 7

Identificamos os limites de y . Nos pontos de interseção ( x = 2 e x = 4 ):
Para x = 2 :
y = 2^2 - 6 cdot 2 +10 = 4 -12 +10 = 2
Para x = 4 :
y = 4^2 -6 cdot4 +10 = 16 -24 +10 = 2
Então, y varia de 2 a um valor máximo. Verificando as curvas, o topo ocorre quando y = -x^2 +6x -6 atinge seu máximo. Derivando:
dydx = -2x +6 0 = -2x +6 Rightarrow x =3 ymáx = -3^2 +6 cdot3 -6 = -9 +18 -6 = 3 á
Então, y varia de 2 a 3.

Passo 8

Agora, identificamos R(y) e r(y) . Quando giramos em torno do eixo y , o raio externo é a função que dá o maior x para cada y , e o interno o menor x .
De y = -x^2 +6x -6 temos x =3 +raiz3 - y
De y = x^2 -6x +10 temos x =3 +raizy -1
Então:
R(y) = 3 + raiz3 - y r(y) = 3 + raizy -1

Passo 9

Substituindo na fórmula do volume:
V = pi integral2^3 [ (3 + raiz3 - y)^2 - (3 + raizy -1)^2 ] dy

Passo 10

Vamos expandir os quadrados:
(3 + raiz3 - y)^2 = 9 +6raiz3 - y + (3 - y) (3 + raizy -1)^2 = 9 +6raizy -1 + (y -1)
Subtraindo:
[9 +6raiz3 - y +3 - y] - [9 +6raizy -1 + y -1] = (12 - y +6raiz3 - y) - (8 + y +6raizy -1) =4 -2y +6raiz3 - y -6raizy -1

Passo 11

Portanto, o volume fica:
V = pi integral2^3 (4 -2y +6raiz3 - y -6raizy -1) dy
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 12

Integrando cada termo:
integral (4) dy =4y integral (-2y) dy = -y^2 integral 6raiz3 - y dy = 6 cdot ( -23 (3 - y)^3/2 ) = -4(3 - y)^3/2 integral (-6)raizy -1 dy = -6 cdot ( 23 (y -1)^3/2 ) = -4(y -1)^3/2

Passo 13

Substituindo os limites de 2 a 3:
V = pi [ 4y - y^2 -4(3 - y)^3/2 -4(y -1)^3/2 ]2^3
Calculando para y =3 :
4(3) -3^2 -4(0)^3/2 -4(2)^3/2 =12 -9 -0 -4 cdot 2.828 approx 3 -11.313 = -8.313
Calculando para y=2 :
4(2) -2^2 -4(1)^3/2 -4(1)^3/2 =8 -4 -4 -4 = -4
Então:
V = pi [(-8.313) - (-4)] = pi (-4.313) approx -13.569 , unidades cúbicas ú
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
V approx 13.569 , unidades cúbicas ú

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente 13.57 unidades cúbicas.

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