Encontre o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso é importante para saber os limites de integração. Para isso, igualamos as duas funções:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Agora, fatorando:
Então, as soluções são
e
. Essas são as abscissas dos pontos de interseção das duas curvas.
Passo 4
Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra entre
e
. Vamos pegar um valor, por exemplo,
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Como vamos girar em torno do eixo
, é conveniente usar o método dos discos (ou anéis). A fórmula para o volume
é:
Onde
é o raio externo e
o raio interno em função de
.
Passo 6
Primeiro, precisamos reescrever as equações das curvas em termos de
. Vamos resolver para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Identificamos os limites de
. Nos pontos de interseção (
e
):
Para
:
Para
:
Então,
varia de 2 a um valor máximo. Verificando as curvas, o topo ocorre quando
atinge seu máximo. Derivando:
Então,
varia de 2 a 3.
Passo 8
Agora, identificamos
e
. Quando giramos em torno do eixo
, o raio externo é a função que dá o maior
para cada
, e o interno o menor
.
De
temos
De
temos
Então:
Passo 9
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 10
Vamos expandir os quadrados:
Subtraindo:
Passo 11
Portanto, o volume fica:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 12
Integrando cada termo:
Passo 13
Substituindo os limites de 2 a 3:
Calculando para
:
Calculando para
:
Então:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.