Calcule as integrais explicitando as etapas usadas em sua resolução: d) integral e^2 x cdot cos (e^2 x) cdot sen(e^2 x) d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral e^2x,cos(e^2x),sin(e^2x),dx. O conteúdo principal é integração por substituição, já que temos uma função composta sin(e^2x) e sua derivada aparente.

Passo 2

Fazemos a substituição u = e^2x. Então diferenciando, du = 2e^2x,dx, o que nos dá e^2x,dx = tfrac12,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
tfrac12integral sin(u),cos(u),du
Para calcular essa integral, usamos a identidade de derivada: tfracddu(sin^2(u)) = 2sin(u)cos(u). Logo
integral sin(u)cos(u),du = tfrac12sin^2(u) + C
Então a integral vira tfrac12timestfrac12sin^2(u)+C = tfrac14sin^2(u)+C.

Passo 4

Voltando à variável original x, substituímos u = e^2x e obtemos a antiderivada em função de x.

Resposta

tfrac14sin^2l(e^2xr) + C

Exercícios relacionados