Calcule a derivada das funções a seguir.
(a) f(x)=ln (2 x^2+e^(10-3 x^2))

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função f(x) = ln (2 x^2 + e^(10 - 3 x^2) ) . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, usando a regra da cadeia e conhecendo as derivadas do logaritmo natural e das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função é um logaritmo natural de uma função interna u(x) = 2x^2 + e^10 - 3x^2 . Para derivar f(x) , vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de ln(u) é u'u .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u(x) . A função u(x) tem duas partes: 2x^2 e e^10 - 3x^2 .

Passo 4

Vamos derivar cada parte separadamente:
  1. Derivada de 2x^2 :
ddx(2x^2) = 4x
  1. Derivada de e^10 - 3x^2 :
    Aqui usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de e^g(x) é e^g(x) cdot g'(x) , onde g(x) = 10 - 3x^2 .
g'(x) = -6x
Então,
ddx(e^10 - 3x^2) = e^10 - 3x^2 cdot (-6x) = -6x , e^10 - 3x^2

Passo 5

Agora, juntando as derivadas das duas partes:
u'(x) = 4x - 6x , e^10 - 3x^2

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para encontrar a derivada de f(x) :
f'(x) = u'(x)u(x) = 4x - 6x , e^10 - 3x^22x^2 + e^10 - 3x^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 4x - 6x , e^10 - 3x^22x^2 + e^10 - 3x^2

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