Resolva os itens abaixo e justifique suas respostas.
(a) Determine
de forma que a função abaixo seja contínua:
(a) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de [c) que faz com que a função
seja contínua. A função está definida em duas partes:
Para garantir a continuidade da função, precisamos que os dois pedaços da função se encontrem nesse ponto de divisão, que é (x = 1]. Vamos precisar usar o conceito de limite e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
. Como
está incluído no primeiro caso (
), substituímos na primeira expressão:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
). Isso significa que estamos considerando valores de
menores que 1, então usamos a primeira expressão novamente:
Passo 4
Em seguida, calculamos o limite da função quando
se aproxima de 1 pela direita (
). Agora, usamos a segunda expressão porque estamos considerando valores de
maiores que 1:
Passo 5
Para que a função seja contínua em
, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. Então, temos a equação:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, organizamos tudo em um lado:
Resolvendo essa equação quadrática, buscamos dois números que multiplicam para -2 e somam para -1. Esses números são -2 e 1:
Então, as soluções são:
Resposta
Os valores de
que tornam a função contínua são
ou
.