Resolva os itens abaixo e justifique suas respostas.
(a) Determine c in R de forma que a função abaixo seja contínua:
f(x)=l x^2+c x, se x in(-infty, 1] c^2 x^2-1, se x in(1,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de [c) que faz com que a função seja contínua. A função está definida em duas partes:
Para garantir a continuidade da função, precisamos que os dois pedaços da função se encontrem nesse ponto de divisão, que é (x = 1]. Vamos precisar usar o conceito de limite e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto x = 1 . Como x = 1 está incluído no primeiro caso ( x <= 1 ), substituímos na primeira expressão:
f(1) = 1^2 + c cdot 1 = 1 + c

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( x to 1^- ). Isso significa que estamos considerando valores de x menores que 1, então usamos a primeira expressão novamente:
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (x^2 + c x) = 1^2 + c cdot 1 = 1 + c

Passo 4

Em seguida, calculamos o limite da função quando x se aproxima de 1 pela direita ( x to 1^+ ). Agora, usamos a segunda expressão porque estamos considerando valores de x maiores que 1:
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (c^2 x^2 - 1) = c^2 cdot 1^2 - 1 = c^2 - 1

Passo 5

Para que a função seja contínua em x = 1 , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. Então, temos a equação:
1 + c = c^2 - 1

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar c . Primeiro, organizamos tudo em um lado:
c^2 - c - 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, buscamos dois números que multiplicam para -2 e somam para -1. Esses números são -2 e 1:
(c - 2)(c + 1) = 0
Então, as soluções são:
c - 2 = 0 ou c + 1 = 0
c = 2 ou c = -1

Resposta

Os valores de c que tornam a função contínua são c = 2 ou c = -1 .

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