Calcule a derivada das funções a seguir.
(b) g(x)=sen(arccos (x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função g(x) = sin(arccos(x)) . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, mais especificamente a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa sin(arccos(x)) . Aqui, temos uma função seno aplicada ao arco cosseno de x , ou seja, estamos lidando com uma composição de funções trigonométricas inversas.

Passo 3

Para facilitar a derivação, vamos simplificar sin(arccos(x)) . Vamos imaginar um triângulo retângulo onde o ângulo theta = arccos(x) . Nesse triângulo:
  • O cosseno de theta é x , então o lado adjacente ao ângulo é x .
  • A hipotenusa é 1 (porque o cosseno é a razão entre o lado adjacente e a hipotenusa).
  • Podemos encontrar o lado oposto usando o teorema de Pitágoras: raiz1 - x^2 .
Portanto:
sin(arccos(x)) = raiz1 - x^2

Passo 4

Agora que simplificamos a função, temos:
g(x) = raiz1 - x^2
Queremos encontrar a derivada de g(x) em relação a x , ou seja, g'(x) .

Passo 5

Para derivar raiz1 - x^2 , vamos reescrever a raiz quadrada como uma potência:
g(x) = (1 - x^2)^12
Agora, aplicamos a regra da potência, que nos diz que ddx [u(x)]^n = n cdot [u(x)]^n-1 cdot u'(x) , onde u(x) é uma função de x .

Passo 6

Aplicando a regra da potência na nossa função:
g'(x) = 12 cdot (1 - x^2)^-12 cdot ddx(1 - x^2)
Agora, precisamos calcular a derivada de 1 - x^2 em relação a x .

Passo 7

A derivada de 1 - x^2 é:
ddx(1 - x^2) = -2x
Substituindo de volta na expressão de g'(x) :
g'(x) = 12 cdot (1 - x^2)^-12 cdot (-2x)

Passo 8

Simplificando a expressão:
g'(x) = 12 cdot (-2x) cdot (1 - x^2)^-12 = -x cdot (1 - x^2)^-12
Podemos reescrever (1 - x^2)^-12 como 1raiz1 - x^2 , então:
g'(x) = -xraiz1 - x^2

Resposta

A derivada de g(x) = sin(arccos(x)) é:
g'(x) = -xraiz1 - x^2

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