Calcule a derivada das funções a seguir.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, mais especificamente a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui, temos uma função seno aplicada ao arco cosseno de
, ou seja, estamos lidando com uma composição de funções trigonométricas inversas.
Passo 3
Para facilitar a derivação, vamos simplificar
. Vamos imaginar um triângulo retângulo onde o ângulo
. Nesse triângulo:
- O cosseno de
é , então o lado adjacente ao ângulo é . - A hipotenusa é 1 (porque o cosseno é a razão entre o lado adjacente e a hipotenusa).
- Podemos encontrar o lado oposto usando o teorema de Pitágoras:
.
Portanto:
Passo 4
Agora que simplificamos a função, temos:
Queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 5
Para derivar
, vamos reescrever a raiz quadrada como uma potência:
Agora, aplicamos a regra da potência, que nos diz que
, onde
é uma função de
.
Passo 6
Aplicando a regra da potência na nossa função:
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 7
A derivada de
é:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Podemos reescrever
como
, então:
Resposta
A derivada de
é: