Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=cos (x)+sen(x).

Passo 1

O enunciado pede o período e o esboço do gráfico da função
f(x)=cos(x)+sen(x)
Para resolver precisamos usar a técnica de soma de senos e cossenos transformando em uma única função do tipo
Acosl(x-varphir)
ou
Asenl(x+thetar),
onde A é a amplitude e varphi (ou theta) é a fase. Depois determinamos o período e marcamos pontos-chave para desenhar.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=cos(x)+sen(x)
Buscamos A e varphi tais que
Acosl(x-varphir)=Acos xcosvarphi+Asen xsinvarphi
deve igualar cos x+sen x. Logo
Acosvarphi=1, Asinvarphi=1
Elevando ao quadrado e somando, obtém-se
A^2(cos^2varphi+sin^2varphi)=1^2+1^2;Longrightarrow;A^2=2;Longrightarrow;A=raiz2
E dividindo as duas equações,
tanvarphi=11=1;Longrightarrow;varphi=pi4
Portanto
f(x)=raiz2,cos!l(x-tfracpi4r)

Passo 3

Uma vez que cos tem período 2pi, a função
raiz2,cos!l(x-tfracpi4r)
também tem período 2pi.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, usamos amplitude e fase . Marcamos pontos em um período :
Desenhando esses pontos e ligando suavemente, obtemos uma onda senoidal de amplitude , período e deslocada para a direita.

Resposta

Período: 2pi.
Gráfico: onda senoidal de amplitude raiz2, dada por
f(x)=raiz2,cos!l(x-tfracpi4r),
com máximos f(tfracpi4+2kpi)=raiz2, mínimos f(tfrac5pi4+2kpi)=-raiz2 e zeros em x=tfrac3pi4+2kpi e x=tfrac7pi4+2kpi.

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