Escolha 3 dos itens a seguir, calcule os limites e explique DETALHADAMENTE sua resolução.
(b) lim x 4 raiz3 x+4-4raiz2 x-4-raiz2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 4 raiz3 x+4-4raiz2 x-4-raiz2. Esse exercício é de cálculo de limites, uma parte importante da matemática que ajuda a entender o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de racionalização, que ajuda a simplificar expressões envolvendo raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 4 diretamente na expressão:
raiz3 cdot 4 + 4 - 4raiz2 cdot 4 - 4 - raiz2 = raiz12 + 4 - 4raiz8 - 4 - raiz2 = raiz16 - 4raiz4 - raiz2 = 4 - 42 - raiz2 = 02 - raiz2
Vemos que o limite inicialmente parece ser 0, mas vamos analisar melhor usando a técnica de racionalização.

Passo 3

A expressão está no formato 00, o que é uma indeterminação. Para resolver, vamos racionalizar o numerador e o denominador separadamente para simplificar a expressão.
Primeiro, racionalizamos o numerador:
raiz3x + 4 - 4
Multiplicamos e dividimos por seu conjugado:
raiz3x + 4 - 41 cdot raiz3x + 4 + 4raiz3x + 4 + 4 = (3x + 4) - 16raiz3x + 4 + 4 = 3x - 12raiz3x + 4 + 4
Simplificando 3x - 12:
3x - 12 = 3(x - 4)
Então, o numerador racionalizado fica:
3(x - 4)raiz3x + 4 + 4

Passo 4

Agora, racionalizamos o denominador da expressão original:
raiz2x - 4 - raiz2
Multiplicamos e dividimos por seu conjugado:
raiz2x - 4 - raiz21 cdot raiz2x - 4 + raiz2raiz2x - 4 + raiz2 = (2x - 4) - 2raiz2x - 4 + raiz2 = 2x - 6raiz2x - 4 + raiz2
Simplificando 2x - 6:
2x - 6 = 2(x - 3)
Então, o denominador racionalizado fica:
2(x - 3)raiz2x - 4 + raiz2

Passo 5

Agora, substituímos as expressões racionalizadas no limite original:
lim x 4 3(x - 4)raiz3x + 4 + 42(x - 3)raiz2x - 4 + raiz2 = lim x 4 3(x - 4)raiz3x + 4 + 4 cdot raiz2x - 4 + raiz22(x - 3)
Podemos simplificar a expressão:
= lim x 4 32 cdot (x - 4)(x - 3) cdot raiz2x - 4 + raiz2raiz3x + 4 + 4

Passo 6

Agora, substituímos x = 4 na expressão simplificada:
Primeiro, calculamos cada parte:
x - 4 = 0
x - 3 = 1
raiz2(4) - 4 + raiz2 = raiz8 - 4 + raiz2 = raiz4 + raiz2 = 2 + raiz2
raiz3(4) + 4 + 4 = raiz12 + 4 + 4 = raiz16 + 4 = 4 + 4 = 8
Substituindo na expressão:
32 cdot 01 cdot 2 + raiz28 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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