Em uma ilha, certo tipo de vegetação é abundante em certas épocas do ano e escasso em outras. A área S, em quilômetros quadrados, ocupada por esta vegetação na ilha, ao longo do ano, pode ser expressa por meio da função S(t)=100+50 cdot sen(pi t6) em que t=1, t=2, t=3, ldots t=12, representam o final dos meses de Janeiro, Fevereiro, março, …, dezembro, respectivamente.
Qual a maior área ocupada pela vegetação, ao longo de um ano?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. O enunciado fala sobre a área ocupada por uma certa vegetação na ilha ao longo dos meses do ano. A função que representa essa área é S(t) = 100 + 50 cdot sin(pi t6) , onde t = 1, 2, 3, ldots, 12 correspondem aos meses de janeiro a dezembro. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a maior área ocupada por essa vegetação durante o ano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada: S(t) = 100 + 50 cdot sin(pi t6) . Essa função descreve como a área da vegetação varia ao longo dos meses. O termo 100 é uma constante que representa a média da área, e o termo 50 cdot sin(pi t6) é uma oscilação que faz a área subir e descer ao longo do ano.

Passo 3

Sabemos que a função seno ( sin ) varia entre -1 e 1. Ou seja, sin(x) nunca será menor que -1 nem maior que 1 para qualquer valor de x . Isso significa que o termo 50 cdot sin(pi t6) variará entre -50 e 50.

Passo 4

Agora, para encontrar a maior área ocupada pela vegetação, precisamos encontrar o valor máximo da função S(t) . Como o termo 50 cdot sin(pi t6) pode chegar até 50, o valor máximo de S(t) será quando sin(pi t6) = 1 .

Passo 5

Vamos resolver quando sin(pi t6) = 1 :
sin(pi t6) = 1 implies pi t6 = pi2 + 2pi k onde k é um número inteiro éú
Simplificando:
t = 3 + 12k
Como t representa meses do ano (de 1 a 12), o único valor de t que satisfaz essa equação dentro do período considerado é t = 3 .

Passo 6

Substituindo t = 3 na função S(t) :
S(3) = 100 + 50 cdot sin(pi cdot 36) = 100 + 50 cdot sin(pi2) = 100 + 50 cdot 1 = 150

Resposta

A maior área ocupada pela vegetação ao longo do ano é de 150 quilômetros quadrados.

Exercícios relacionados