Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto cuja abscissa é
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função:
. - O ponto onde queremos a tangente possui abscissa
. - O que se pede: a equação da reta tangente (ou seja, uma reta que toca o gráfico exatamente em
e tem inclinação igual à derivada de naquele ponto).
Passo 2
Identificar a ordenada do ponto de tangência (sem calcular derivadas ainda): para escrever a reta precisamos do ponto
com
. Para facilitar manipulações, primeiro simplificamos a expressão de
.
Observação algébrica útil:
para
. Aplicando com
, temos a forma equivalente
Aqui
é o logaritmo natural e a expressão dentro do logaritmo,
, é sempre positiva (ponto importante que garante que
está bem definida para todo
; não é necessário detalhar agora, só notar que a função existe em
).
Agora podemos calcular a ordenada no ponto
:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 3
Explicar como obter a inclinação da reta tangente: a inclinação é a derivada
avaliada em
. Vou explicar a regra que usaremos.
Regra usada (cadeia + logaritmo): se
, onde
é uma função diferenciável e
, então pela regra da cadeia a derivada é
Aqui
é a função interna (no nosso caso
), e
é a derivada de
em relação a
. A derivada de
é
; o fator
sai fora por ser constante multiplicativa.
Passo 4
Aplicar a regra com
. Primeiro calculamos
:
Substituindo na fórmula do passo anterior:
Expliquei: o numerador vem da derivada do polinômio interno e o denominador é o próprio polinômio, multiplicado por
por causa do
inicial.
Passo 5
Avaliar a derivada em
para obter a inclinação da reta tangente:
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
é
.
Passo 6
Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação. A equação da reta tangente em
com inclinação
é
Aqui
,
e
. Substituindo:
Simplificando para uma forma mais comum: