Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=\ln \sqrt{x^{2}-x+1} no ponto de abscissa x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\ln\sqrt{x^{2}-x+1} e pede: encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto cuja abscissa é x=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: \displaystyle f(x)=\ln\sqrt{x^{2}-x+1}.
  • O ponto onde queremos a tangente possui abscissa \displaystyle x=1.
  • O que se pede: a equação da reta tangente (ou seja, uma reta que toca o gráfico exatamente em x=1 e tem inclinação igual à derivada de f naquele ponto).

Passo 2

Identificar a ordenada do ponto de tangência (sem calcular derivadas ainda): para escrever a reta precisamos do ponto (x_0,f(x_0)) com x_0=1. Para facilitar manipulações, primeiro simplificamos a expressão de f.
Observação algébrica útil: \ln\sqrt{u}=\tfrac{1}{2}\ln u para u>0. Aplicando com u=x^{2}-x+1, temos a forma equivalente
f(x)=\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr).
Aqui \ln é o logaritmo natural e a expressão dentro do logaritmo, x^{2}-x+1, é sempre positiva (ponto importante que garante que f está bem definida para todo x; não é necessário detalhar agora, só notar que a função existe em x=1).
Agora podemos calcular a ordenada no ponto x=1:
f(1)=\tfrac{1}{2}\ln\bigl(1^{2}-1+1\bigr)=\tfrac{1}{2}\ln(1)=\tfrac{1}{2}\cdot 0=0.
Portanto o ponto de tangência é (1,0).

Passo 3

Explicar como obter a inclinação da reta tangente: a inclinação é a derivada f'(x) avaliada em x=1. Vou explicar a regra que usaremos.
Regra usada (cadeia + logaritmo): se \displaystyle f(x)=\tfrac{1}{2}\ln\bigl(g(x)\bigr), onde g(x) é uma função diferenciável e g(x)>0, então pela regra da cadeia a derivada é
f'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}.
Aqui g(x) é a função interna (no nosso caso g(x)=x^{2}-x+1), e g'(x) é a derivada de g em relação a x. A derivada de \ln(g(x)) é g'(x)/g(x); o fator \tfrac{1}{2} sai fora por ser constante multiplicativa.

Passo 4

Aplicar a regra com g(x)=x^{2}-x+1. Primeiro calculamos g'(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-x+1\bigr)=2x-1.
Substituindo na fórmula do passo anterior:
f'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2x-1}{x^{2}-x+1}=\frac{2x-1}{2\bigl(x^{2}-x+1\bigr)}.
Expliquei: o numerador vem da derivada do polinômio interno e o denominador é o próprio polinômio, multiplicado por 2 por causa do \tfrac{1}{2} inicial.

Passo 5

Avaliar a derivada em x=1 para obter a inclinação da reta tangente:
f'(1)=\frac{2\cdot 1-1}{2\bigl(1^{2}-1+1\bigr)}=\frac{1}{2\cdot 1}=\tfrac{1}{2}.
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em x=1 é \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação. A equação da reta tangente em (x_0,y_0) com inclinação m é
y-y_0=m(x-x_0).
Aqui x_0=1, y_0=f(1)=0 e m=f'(1)=\tfrac{1}{2}. Substituindo:
y-0=\tfrac{1}{2}\bigl(x-1\bigr).
Simplificando para uma forma mais comum:
y=\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{2}.

Resposta

y=\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{2}

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