Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=(x^3-2 x)(ln (x))

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada de f(x) = (x^3 - 2x)ln(x). O conteúdo principal é a regra do produto e também a derivada de ln(x), e vamos precisar trabalhar no domínio x>0 para que ln(x) faça sentido.

Passo 2

Identificamos as duas funções envolvidas no produto: u(x) = x^3 - 2x e v(x) = ln(x). Calculamos suas derivadas separadamente:
  • Para u(x) = x^3 - 2x, temos u'(x) = 3x^2 - 2.
  • Para v(x) = ln(x), usamos a derivada padrão e obtemos v'(x) = 1/x.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto, que diz (uv)' = u'v + uv'. Logo:
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 4

Substituindo u, u', v, v' na fórmula:
f'(x) = (3x^2 - 2)ln(x) + (x^3 - 2x)1x

Passo 5

Por fim, simplificamos o segundo termo dividindo cada parcela por x:
f'(x) = (3x^2 - 2)ln(x) + x^2 - 2

Resposta

f'(x) = (3x^2 - 2)ln(x) + x^2 - 2

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