Calcule a derivada das funções a seguir usando o Teorema Fundamental do Cálculo (1a Parte): (Funções do livro texto)
y=integral0^x^4 cos ^2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = integral0^x^4 cos^2theta , dtheta
O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo (1ª Parte) combinado com a regra da cadeia, pois o limite superior da integral é uma função de x.

Passo 2

Defina a função auxiliar
F(u) = integral0^u cos^2theta , dtheta
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (1ª Parte), a derivada de F em relação a u é
F'(u) = cos^2(u)

Passo 3

Como y = F(x^4), aplicamos a regra da cadeia:
dydx = F'l(x^4r)cdot ddxl(x^4r) = cos^2l(x^4r)cdot 4x^3

Resposta

dydx = 4x^3cos^2l(x^4r)

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