Sendo f(x)=sen 3 x, calcule a área da região compreendida entre o gráfico de f, o eixo x e as retas x=0 e x=pi3

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=sin(3x) e pede a área da região limitada pelo gráfico de f, o eixo x e as retas x=0 e x=pi3. Como essa é a área sob a curva numa faixa de x, vamos usar integração definida.

Passo 2

Observamos que, para xinl[0,pi3r], temos 3xin[0,pi] e portanto sin(3x)>=0. Logo a área pedida é
Área=integral0^pi3sin(3x),dx Á

Passo 3

Calculamos a antiderivada de sin(3x). Usando substituição u=3x, du=3,dx, obtemos
integral sin(3x),dx =integral sin(u),du3 =-13cos(u)+C =-13cos(3x)+C

Passo 4

Aplicamos os limites de integração:
integral0^pi3sin(3x),dx =l[-tfrac13cos(3x)r]0^pi3 =-tfrac13cosl(3cdottfracpi3r) - l(-tfrac13cos(0)r)

Passo 5

Como cospi=-1 e cos0=1, temos
-tfrac13cospi -l(-tfrac13cos0r) =-tfrac13cdot(-1)+tfrac13cdot1 =tfrac13+tfrac13 =tfrac23

Resposta

A área da região é tfrac23.

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