(2,0) Calcule a derivada das funções a seguir, utilizando as regras básicas de derivação.
f(x)=-\frac{\ln (x)}{(3+\mathrm{K}) e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = -\frac{\ln(x)}{(3+K)\,e^{x}},
onde K é constante. Para resolver precisamos usar: regra do “constante vezes função”, regra do produto (ou quociente), derivada de \ln(x) e derivada de e^{x}.

Passo 2

Reescrevendo f(x) como produto de uma constante por duas funções:
f(x) = -\frac{1}{3+K}\,\ln(x)\,e^{-x}.
Aqui definimos
C = -\frac{1}{3+K},\quad u(x)=\ln(x),\quad v(x)=e^{-x}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto em u(x)\,v(x):
\frac{d}{dx}\bigl(u\,v\bigr) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Como
u'(x) = \frac{1}{x},\qquad v'(x) = -e^{-x},
temos
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\,e^{-x}\bigr) = \frac{1}{x}\,e^{-x} - \ln(x)\,e^{-x}.

Passo 4

Multiplicando pelo fator constante C:
f'(x) = C\Bigl(\frac{1}{x}e^{-x} - \ln(x)e^{-x}\Bigr) = -\frac{1}{3+K}\,e^{-x}\Bigl(\tfrac{1}{x} - \ln(x)\Bigr).

Passo 5

Podemos também reescrever de forma mais limpa, invertendo o sinal dentro do parêntese:
f'(x) = \frac{e^{-x}}{3+K}\,\Bigl(\ln(x)-\tfrac{1}{x}\Bigr).

Resposta

f'(x) = -\frac{1}{3+K}\,e^{-x}\Bigl(\tfrac{1}{x}-\ln(x)\Bigr) \quad\text{ou}\quad f'(x)=\frac{e^{-x}}{3+K}\Bigl(\ln(x)-\tfrac{1}{x}\Bigr).

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