Calcule a derivada das funções a seguir utilizando, sempre que necessário, a Regra da Cadeia.
f(x)=\log _{(13-\mathbf{K})}\left(x^{2}+x+9\right)-e^{7 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\log_{(13-K)}\bigl(x^{2}+x+9\bigr)\;-\;e^{7x}.
Aqui vamos usar:
  1. A derivada de \log_{a}(u(x)) é
\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln(a)},
desde que a>0 e a\neq1.
2. A derivada de e^{7x} é 7e^{7x}, pela regra da cadeia.

Passo 2

Derivando o primeiro termo \log_{(13-K)}\bigl(x^{2}+x+9\bigr):
Temos u(x)=x^{2}+x+9, logo
u'(x)=2x+1.
Aplicando a fórmula da derivada do logaritmo de base 13-K:
\frac{d}{dx}\Bigl[\log_{(13-K)}(u(x))\Bigr] =\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln(13-K)} =\frac{2x+1}{\bigl(x^{2}+x+9\bigr)\,\ln(13-K)}.

Passo 3

Derivando o segundo termo -e^{7x}:
pela regra da cadeia, como \frac{d}{dx}e^{7x}=7e^{7x}, temos
\frac{d}{dx}\bigl[-e^{7x}\bigr] =-7e^{7x}.

Passo 4

Somando as duas derivadas obtidas:
f'(x) =\frac{2x+1}{\bigl(x^{2}+x+9\bigr)\,\ln(13-K)} \;-\;7e^{7x}.

Resposta

f'(x) =\frac{2x+1}{\bigl(x^{2}+x+9\bigr)\,\ln(13-K)} -7e^{7x}.

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