(2,0) Calcule a derivada das funções a seguir, utilizando as regras básicas de derivação.
g(x)=\frac{\operatorname{tg}(x)+(12-\mathbf{K}) x}{(12-\mathbf{K}) x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=\frac{\tan(x)+(12-\mathbf{K})\,x}{(12-\mathbf{K})\,x}
Usaremos regras básicas: soma, quociente e constantes.

Passo 2

Note que, chamando A=12-\mathbf{K}, temos
g(x)=\frac{\tan(x)+A\,x}{A\,x} =\frac{\tan(x)}{A\,x}+\frac{A\,x}{A\,x} =1+\frac{1}{A}\,\frac{\tan(x)}{x}.

Passo 3

Basta derivar a parte \frac{\tan(x)}{x} por quociente. Seja
u(x)=\tan(x),\quad v(x)=x\quad\Longrightarrow\quad \bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)'=\frac{v\,u'-u\,v'}{v^2} =\frac{x\operatorname{sec}^2(x)-\tan(x)\cdot1}{x^2} =\frac{x\operatorname{sec}^2(x)-\tan(x)}{x^2}.
Assim,
g'(x)=0+\frac{1}{A}\,\frac{x\operatorname{sec}^2(x)-\tan(x)}{x^2} =\frac{x\operatorname{sec}^2(x)-\tan(x)}{(12-\mathbf{K})\,x^2}.

Resposta

g'(x)=\frac{x\operatorname{sec}^2(x)-\tan(x)}{(12-\mathbf{K})\,x^2}.

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