Calcule a derivada das funções a seguir utilizando, sempre que necessário, a Regra da Cadeia.
f(x)=\operatorname{tg}\left(x^{2}+2 x+\mathbf{K}\right)+5^{5 x+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\tan\bigl(x^{2}+2x+K\bigr)+5^{5x+1}.
O conteúdo envolvido é: derivada da função tangente e derivada de uma função exponencial de base constante, usando sempre a Regra da Cadeia.

Passo 2

Para a primeira parcela, defina
u(x)=x^{2}+2x+K.
Como \frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u) e \frac{du}{dx}=2x+2, pela Regra da Cadeia temos
\frac{d}{dx}\tan\bigl(x^{2}+2x+K\bigr) =(2x+2)\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}+2x+K\bigr).

Passo 3

Para a segunda parcela, use a fórmula
\frac{d}{dx}a^{g(x)}=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x).
Aqui a=5 e g(x)=5x+1, de modo que g'(x)=5. Portanto
\frac{d}{dx}5^{5x+1} =5^{5x+1}\ln(5)\cdot5.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =(2x+2)\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}+2x+K\bigr) +5^{5x+1}\cdot5\ln(5).

Resposta

f'(x) =(2x+2)\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}+2x+K\bigr) +5^{5x+1}\,5\ln(5).

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