Calcule a derivada das funções a seguir utilizando, sempre que necessário, a Regra da Cadeia.
f(x)=(11-\mathrm{K}) \arctan \left(x^{7}+3 x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (11 - \mathrm{K}) \,\arctan\!\bigl(x^{7} + 3x^{3}\bigr),
onde \mathrm{K} é uma constante. O conteúdo aqui é derivação de produto por constante e regra da cadeia aplicada à função \arctan.

Passo 2

Como (11 - \mathrm{K}) é uma constante, podemos usá-la como fator externo. A derivada de \arctan(u) em função de x é dada por
\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(u(x))\bigr] = \frac{u'(x)}{1 + \bigl(u(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Definindo
u(x) = x^{7} + 3x^{3},
temos
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{7} + 3x^{3}\bigr) = 7x^{6} + 9x^{2}.

Passo 4

Aplicando o fator constante e a regra da cadeia:
f'(x) = (11 - \mathrm{K}) \cdot \frac{u'(x)}{1 + \bigl(u(x)\bigr)^{2}} = (11 - \mathrm{K}) \,\frac{7x^{6} + 9x^{2}}{1 + \bigl(x^{7} + 3x^{3}\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(x) = (11 - \mathrm{K}) \,\frac{7x^{6} + 9x^{2}}{1 + \bigl(x^{7} + 3x^{3}\bigr)^{2}}.

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