Calcule a derivada das funções a seguir utilizando, sempre que necessário, a Regra da Cadeia.
f(x)=\ln (\sqrt[3]{x})-11-\mathrm{K}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \displaystyle f(x)=\ln\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)-11-\mathrm{K}.
O conteúdo envolvido é derivada de função logarítmica, aplicação da regra da cadeia e uso de constantes.

Passo 2

Reescrevemos o argumento do logaritmo usando potência e depois aplicamos a propriedade de logaritmos:
\sqrt[3]{x}=x^{\tfrac13}
\ln\bigl(x^{\tfrac13}\bigr)=\tfrac13\,\ln(x).
Logo
f(x)=\tfrac13\,\ln(x)\;-\;11\;-\;\mathrm{K}.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr]=\frac{1}{x},
portanto
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac13\,\ln(x)\Bigr] =\tfrac13\;\frac{1}{x}.
As derivadas de -11 e de -\mathrm{K} são zero, pois são constantes.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{3x}.

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