(6 pts) Reescreva a função f(x)=|2 x+2| eliminando o módulo, esboce o gráfico e determine a imagem.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a função
f(x) = |2x + 2|
eliminando o módulo, depois esboçar o gráfico e, por fim, determinar a imagem de f. O conteúdo envolve valor absoluto e definição por partes de funções.
Passo 2
Identificamos em que ponto o argumento do módulo muda de sinal. Basta resolver
2x + 2 = 0
para encontrar
x = -1.
Isso divide o domínio em duas regiões: x < -1 e x \ge -1.
Passo 3
Em cada região substituímos |2x+2| por 2x+2 ou por -(2x+2):
f(x)= \begin{cases} -(2x+2) = -2x -2, & x < -1,\\\ \phantom{-}(2x+2), & x \ge -1. \end{cases}
Passo 4
O esboço do gráfico é uma letra “V” com vértice em (-1,0).
Para x < -1 temos uma reta de inclinação -2 que atinge ( -1,0).
Para x \ge -1 temos uma reta de inclinação +2 que parte de ( -1,0).
Passo 5
Como valor absoluto nunca é negativo, f(x)\ge0 para todo x. Além disso alcança 0 no vértice e cresce para +\infty nos dois lados.
Resposta
A função sem módulo é
f(x)= \begin{cases} -2x - 2, & x < -1,\\\\ 2x + 2, & x \ge -1. \end{cases}
O gráfico é um “V” com vértice em (-1,0), ramos de inclinação -2 à esquerda e +2 à direita.
A imagem de f é [0, +\infty).