(6 pts) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow(1,+\infty) dada por f(x)=e^{x}+1. Determine a função inversa de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon \mathbb{R}\to(1,+\infty),\quad f(x)=e^{x}+1
e pede sua inversa. O conteúdo envolvido é a inversão de uma função estritamente crescente (a exponencial), que é bijetiva de \mathbb{R} em (0,+\infty), e o deslocamento vertical por +1. Para achar f^{-1}, basta resolver a equação y=e^x+1 para x em termos de y.

Passo 2

Começamos escrevendo
y = e^{x} + 1.
Isolamos a parte exponencial:
y - 1 = e^{x}.
Como o logaritmo natural é a função inversa de e^{x}, aplicamos \ln em ambos os lados:
\ln(y - 1) = \ln\bigl(e^{x}\bigr) = x.
Portanto, a inversa f^{-1} leva um valor y\in(1,+\infty) em
x = \ln(y-1).

Resposta

A função inversa é
f^{-1}\colon (1,+\infty)\to\mathbb{R},\quad f^{-1}(y)=\ln\bigl(y-1\bigr).

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