(1.0) [EXTRA]Calcule a primeira derivadas de f e a segunda derivada de f.
Ou seja, calcule f^{\prime} e f^{\prime \prime} da função
f(x)=(2+\mathbf{K})^{x}+\log _{(11-K)}(x)

AS RESPOSTAS SÓ SERÃO ACEITAS COM SEUS CÁLCULOS E JUSTIFICATIVAS.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
f(x) = (2+K)^{x} \;+\;\log_{(11 - K)}(x),
onde K é constante.
Para isso vamos usar duas regras básicas de derivação:
  1. Se g(x)=a^{x} com a>0 constante, então
g'(x) = a^{x}\,\ln(a), \quad g''(x)=a^{x}\,\bigl[\ln(a)\bigr]^{2}.
  1. Se h(x)=\log_{b}(x) com b>0, b\neq1, então usando a mudança de base
h(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)},
de onde
h'(x)=\frac{1}{x\,\ln(b)}, \quad h''(x)=-\frac{1}{x^{2}\,\ln(b)}.

Passo 2

Aplique a regra à parte (2+K)^{x}.
Tomando a=2+K,
\frac{d}{dx}\bigl[(2+K)^{x}\bigr] = (2+K)^{x}\,\ln(2+K),
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\bigl[(2+K)^{x}\bigr] = (2+K)^{x}\,\bigl[\ln(2+K)\bigr]^{2}.

Passo 3

Agora derive \log_{(11-K)}(x) usando a base b=11-K.
Primeiro escrevemos
\log_{(11-K)}(x) =\frac{\ln(x)}{\ln(11-K)}.
Logo
\frac{d}{dx}\Bigl[\log_{(11-K)}(x)\Bigr] =\frac{1}{x\,\ln(11-K)},
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\Bigl[\log_{(11-K)}(x)\Bigr] =-\frac{1}{x^{2}\,\ln(11-K)}.

Passo 4

Reúnimos as derivadas dos dois termos para obter f' e f'':
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[(2+K)^{x}\bigr] + \frac{d}{dx}\Bigl[\log_{(11-K)}(x)\Bigr] = (2+K)^{x}\,\ln(2+K) + \frac{1}{x\,\ln(11-K)},
f''(x) = \frac{d^{2}}{dx^{2}}\bigl[(2+K)^{x}\bigr] + \frac{d^{2}}{dx^{2}}\Bigl[\log_{(11-K)}(x)\Bigr] = (2+K)^{x}\,\bigl[\ln(2+K)\bigr]^{2} - \frac{1}{x^{2}\,\ln(11-K)}.

Resposta

f'(x) = (2+K)^{x}\,\ln(2+K)\;+\;\dfrac{1}{x\,\ln(11-K)}, f''(x)= (2+K)^{x}\,\bigl[\ln(2+K)\bigr]^{2}\;-\;\dfrac{1}{x^{2}\,\ln(11-K)}.

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