Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede para resolver o PVI usando a transformada de Laplace. Ou seja, encontrar explicitamente
para
.
Passo 2
Rápida revisão do que vou usar (sem pular etapas):
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
Vou denotar
.
- Propriedades importantes (transformada de derivadas), válidas para funções suficientemente regulares:
Essas fórmulas aparecem ao aplicar integração por partes ao integral da definição. Aqui
e
são as condições iniciais que nós já conhecemos.
- Também usarei a transformada de uma função exponencial deslocada:
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
,
:
Substituindo as expressões:
Agora coloco os valores de
e
:
Simplificando os sinais:
Passo 4
Agrupo os termos que contêm
e os termos constantes:
Calculo as constantes:
E observo que
. Assim:
Isolando
:
Dividindo por
:
Passo 5
Simplifico a parte racional
para termos conhecidos. Escrevo
, então
Portanto
Passo 6
Vou inverter a transformada termo a termo. Lembretes úteis:
-
- Para inteiros
:
Aplicando com
:
Somando os três termos:
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (para ganhar confiança):
- Em
: (ok). - Derivo
para checar . Escrevo com . Então
Em
:
(ok). As condições são satisfeitas.