Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=4 e^{-t}, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''+2y'+y=4e^{-t},\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=-1,
e pede para resolver o PVI usando a transformada de Laplace. Ou seja, encontrar explicitamente y(t) para t\ge0.

Passo 2

Rápida revisão do que vou usar (sem pular etapas):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Vou denotar \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s).
  • Propriedades importantes (transformada de derivadas), válidas para funções suficientemente regulares:
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas aparecem ao aplicar integração por partes ao integral da definição. Aqui y(0) e y'(0) são as condições iniciais que nós já conhecemos.
  • Também usarei a transformada de uma função exponencial deslocada:
\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1}.

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=2, y'(0)=-1:
\mathcal{L}\{y''\}+2\mathcal{L}\{y'\}+\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{4e^{-t}\}.
Substituindo as expressões:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)+2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+Y(s)=4\cdot\frac{1}{s+1}.
Agora coloco os valores de y(0)=2 e y'(0)=-1:
\bigl(s^{2}Y(s)-2s-(-1)\bigr)+2\bigl(sY(s)-2\bigr)+Y(s)=\frac{4}{s+1}.
Simplificando os sinais:
s^{2}Y(s)-2s+1 +2sY(s)-4 +Y(s)=\frac{4}{s+1}.

Passo 4

Agrupo os termos que contêm Y(s) e os termos constantes:
Y(s)\bigl(s^{2}+2s+1\bigr) +(-2s+1-4)=\frac{4}{s+1}.
Calculo as constantes:
-2s+1-4=-2s-3.
E observo que s^{2}+2s+1=(s+1)^{2}. Assim:
Y(s)(s+1)^{2}-2s-3=\frac{4}{s+1}.
Isolando Y(s):
Y(s)(s+1)^{2}=\frac{4}{s+1}+2s+3.
Dividindo por (s+1)^{2}:
Y(s)=\frac{4}{(s+1)^{3}}+\frac{2s+3}{(s+1)^{2}}.

Passo 5

Simplifico a parte racional \dfrac{2s+3}{(s+1)^{2}} para termos conhecidos. Escrevo 2s+3=2(s+1)+1, então
\frac{2s+3}{(s+1)^{2}}=\frac{2(s+1)}{(s+1)^{2}}+\frac{1}{(s+1)^{2}} = \frac{2}{s+1}+\frac{1}{(s+1)^{2}}.
Portanto
Y(s)=\frac{4}{(s+1)^{3}}+\frac{2}{s+1}+\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 6

Vou inverter a transformada termo a termo. Lembretes úteis:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}.
  • Para inteiros n\ge1:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^{n}}\right\}=\frac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}e^{-at}.
Aplicando com a=1:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2}{s+1}\right\}=2e^{-t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+1)^{2}}\right\}=t e^{-t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{4}{(s+1)^{3}}\right\}=4\cdot\frac{t^{2}}{2}e^{-t}=2t^{2}e^{-t}.
Somando os três termos:
y(t)=2t^{2}e^{-t}+t e^{-t}+2e^{-t}=(2t^{2}+t+2)e^{-t}.

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (para ganhar confiança):
  • Em t=0: y(0)=(0+0+2)\cdot 1=2 (ok).
  • Derivo y(t) para checar y'(0). Escrevo y(t)=p(t)e^{-t} com p(t)=2t^{2}+t+2. Então
y'(t)=p'(t)e^{-t}-p(t)e^{-t}=(4t+1-(2t^{2}+t+2))e^{-t}=(-2t^{2}+3t-1)e^{-t}.
Em t=0: y'(0)=-1 (ok). As condições são satisfeitas.

Resposta

y(t)=(2t^{2}+t+2)e^{-t}

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