Calcule a derivada das funções trigonométricas a seguir:
f(x)=\operatorname{cossec}(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=\operatorname{cossec}(x). O conteúdo aqui é derivadas de funções trigonométricas; vamos usar a definição de cosecante como inverso de seno e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=\operatorname{cossec}(x)=\frac{1}{\sin(x)}=(\sin(x))^{-1}.
Isso nos permite usar a regra da potência em conjunto com a cadeia.

Passo 3

Aplicando a derivada de u^{-1} e a regra da cadeia, onde u=\sin(x):
f'(x)=-1\cdot(\sin(x))^{-2}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(x)] =-(\sin(x))^{-2}\cos(x) =-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}.

Passo 4

Reescrevendo em termos de funções trigonométricas padrão:
-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} =-\frac{1}{\sin(x)}\cdot\frac{\cos(x)}{\sin(x)} =-\operatorname{cossec}(x)\,\cot(x).

Resposta

f'(x)=-\operatorname{cossec}(x)\,\cot(x).

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