Calcule as derivadas a seguir:
f(x)=x e^{x} \csc x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\,e^{x}\,\csc x.
Para resolver vamos usar a regra do produto (quando temos produto de funções) e conhecer a derivada de \csc x, que envolve regra da cadeia.

Passo 2

Seja g(x)=x\,e^{x}. Aplicando a regra do produto:
g'(x)=\frac{d}{dx}[x]\cdot e^{x}+x\cdot\frac{d}{dx}[e^{x}] =1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x} =e^{x}(1+x).

Passo 3

Seja h(x)=\csc x. Sabemos que
\frac{d}{dx}[\csc x] =-\csc x\cot x.
Isso vem da regra da cadeia aplicada à \csc x=(\sin x)^{-1}.

Passo 4

Agora aplique a regra do produto em
f(x)=g(x)\,h(x).
Temos
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x) =e^{x}(1+x)\,\csc x +x\,e^{x}\,(-\csc x\cot x).

Passo 5

Fatorando e^{x}\csc x em ambos os termos:
f'(x) =e^{x}\csc x\bigl[(1+x)-x\cot x\bigr].

Resposta

f'(x)=e^{x}\csc x\bigl(1+x - x\cot x\bigr).

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