Calcule as derivadas a seguir:
y=x^{2} \sin x \tan x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = x^{2}\,\sin x\,\tan x.
O conteúdo principal aqui é a regra do produto para três funções, além das derivadas de \sin x e \tan x.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{2},\quad v(x)=\sin x,\quad w(x)=\tan x.
As derivadas são
u'(x)=2x,\quad v'(x)=\cos x,\quad w'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Pela regra do produto para três funções,
y' = u'\,v\,w \;+\; u\,v'\,w \;+\; u\,v\,w'.

Passo 4

Substituindo u, v, w e suas derivadas, obtemos
y' = 2x\,\sin x\,\tan x \;+\; x^{2}\,\cos x\,\tan x \;+\; x^{2}\,\sin x\,\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Para simplificar, note que
\cos x\,\tan x = \frac{\cos x\,\sin x}{\cos x} = \sin x,
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x^{2}\,\cos x\,\tan x = x^{2}\,\sin x.
Assim
y' = 2x\,\sin x\,\tan x + x^{2}\,\sin x + x^{2}\,\sin x\,\operatorname{sec}^{2}x
e, fatorando x\sin x:
y' = x\,\sin x\bigl(2\tan x + x + x\,\operatorname{sec}^{2}x\bigr).

Resposta

y' = 2x\,\sin x\,\tan x \;+\; x^{2}\,\cos x\,\tan x \;+\; x^{2}\,\sin x\,\operatorname{sec}^{2}x.

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