Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
d)
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando a Função Gamma. O enunciado pede para calcular:
Vamos precisar entender como a Função Gamma funciona e como ela pode ser usada para integrar expressões desse tipo. A Função Gamma é uma generalização do fatorial para números reais e é muito útil para resolver integrais que envolvem potências e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar a expressão no formato que se encaixa na definição da Função Gamma. Para isso, vamos identificar uma forma geral da integral da Função Gamma:
Queremos ajustar nossa integral para que ela se pareça com essa forma. Observando a nossa integral:
percebe-se que temos um
e um exponencial com
. Vamos fazer a substituição:
Passo 3
Com a substituição
, precisamos calcular
em termos de
:
Agora, resolvemos para
:
Mas como
, podemos expressar
em termos de
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Simplificando os termos:
Multiplicando esses termos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, reconhecemos que a integral
é exatamente a definição da Função Gamma para
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Substituindo de volta na nossa expressão:
Resposta
O valor da integral é 2.