Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
d) integral0^infty x^3 e^-x^22 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a Função Gamma. O enunciado pede para calcular:
integral0^infty x^3 e^-x^22 dx
Vamos precisar entender como a Função Gamma funciona e como ela pode ser usada para integrar expressões desse tipo. A Função Gamma é uma generalização do fatorial para números reais e é muito útil para resolver integrais que envolvem potências e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar a expressão no formato que se encaixa na definição da Função Gamma. Para isso, vamos identificar uma forma geral da integral da Função Gamma:
Gamma(n) = integral0^infty t^n-1 e^-t dt
Queremos ajustar nossa integral para que ela se pareça com essa forma. Observando a nossa integral:
integral0^infty x^3 e^-x^22 dx,
percebe-se que temos um t = x^22 e um exponencial com . Vamos fazer a substituição:

Passo 3

Com a substituição t = x^22 implies dt = x , dx, precisamos calcular dx = dtx em termos de x = raiz2t:
dx = dtraiz2t
Agora, resolvemos para :
Mas como , podemos expressar em termos de :
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integral0^infty x^3 e^-x^22 dx = integral0^infty (raiz2t)^3 e^-t cdot dtraiz2t
Simplificando os termos:
(raiz2t)^3 = (2t)^32 = 2^32 t^32,
1raiz2t = 2^-12 t^-12
Multiplicando esses termos:
2^32 cdot 2^-12 = 2^1 = 2,
t^32 cdot t^-12 = t^1 = t
Então, a integral fica:
2 integral0^infty t e^-t dt

Passo 5

Agora, reconhecemos que a integral Gamma(2) = integral0^infty t^2-1 e^-t dt = integral0^infty t e^-t dt é exatamente a definição da Função Gamma para Gamma(2) = 1! = 1:
Sabemos que , então:

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão:
2 integral0^infty t e^-t dt = 2 cdot Gamma(2) = 2 cdot 1 = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

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