Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo linear não homogênea. O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral e, como temos condições iniciais (valores de
e
), também a solução particular. Para isso, vamos precisar conhecer as técnicas de solução de EDOs, especificamente encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é
. Para resolver isso, usamos a equação característica.
Passo 3
A equação característica dessa EDO é formada substituindo
por
, o que dá:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Então:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
, e
na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Assim, temos:
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 10
Agora vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Primeiro, encontramos a derivada de
Aplicando
:
Passo 11
Agora temos o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é: