Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y'' + y' - 2y = 2t ; y(0) = 0 ; y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo linear não homogênea. O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral e, como temos condições iniciais (valores de e ), também a solução particular. Para isso, vamos precisar conhecer as técnicas de solução de EDOs, especificamente encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é . Para resolver isso, usamos a equação característica.

Passo 3

A equação característica dessa EDO é formada substituindo por , o que dá:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Então:
Portanto, as raízes são e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo , , e na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Assim, temos:
Então, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da particular:

Passo 10

Agora vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Aplicando :

Passo 11

Agora temos o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:

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