A Função Gamma é definido por Gamma:(0,+infty) R por
Gamma(p)=integral0^infty e^-x x^p-1 d x
a) Mostre que Gamma(x+1)=x Gamma(x).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a definição da Função Gamma:
Gamma(p) = integral0^infty e^-t t^p-1 dt
E o objetivo é mostrar que:
Gamma(x+1) = x Gamma(x)
Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral e propriedades da função Gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão para Gamma(x+1) = integral0^infty e^-t t^(x+1)-1 dt = integral0^infty e^-t t^x dt usando a definição da Função Gamma:

Passo 3

Agora, vamos aplicar integração por partes para relacionar integral u , dv = uv - integral v , du com . A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Gamma(x+1) = integral0^infty e^-t t^x dt = -e^-t t^x |0^infty + integral0^infty e^-t x t^x-1 dt

Passo 5

Vamos analisar o termo :
  • Quando : tende a 0 mais rápido que qualquer potência de , então o limite é 0.
  • Quando : tende a 0 se , então o limite também é 0.
Portanto, o termo de avaliação é 0.

Passo 6

Com isso, a expressão fica:
Gamma(x+1) = 0 + x integral0^infty e^-t t^x-1 dt = x Gamma(x)

Resposta

Concluímos que:
Gamma(x+1) = x Gamma(x)

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