A Função Gamma é definido por
por
a) Mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a definição da Função Gamma:
E o objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral e propriedades da função Gamma.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão para
usando a definição da Função Gamma:
Passo 3
Agora, vamos aplicar integração por partes para relacionar
com
. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 5
Vamos analisar o termo
:
- Quando
: tende a 0 mais rápido que qualquer potência de , então o limite é 0. - Quando
: tende a 0 se , então o limite também é 0.
Portanto, o termo de avaliação é 0.
Passo 6
Com isso, a expressão fica:
Resposta
Concluímos que: