Calcule a derivada da funções vetoriais.
r(t)=sen(t^2-pi)2 t i-j+ln (1+3 t) k

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial
r(t)=sinl(t^2-pir)2,t,i;-;j;+;lnl(1+3,tr),k
O conteúdo aqui é derivação de cada componente escalar, usando as regras de derivada (produto, quociente e cadeia).

Passo 2

Derivamos a componente na direção de i:
f(t)=sinl(t^2-pir)2,t =12,sinl(t^2-pir),t^-1
Aplicando produto e cadeia:
f'(t) =12l[cosl(t^2-pir)cdot 2tcdot t^-1 +sinl(t^2-pir)cdot(-1),t^-2r]
Simplificando:
f'(t) =12l[2cosl(t^2-pir) -sinl(t^2-pir)t^2r] =cosl(t^2-pir) -sinl(t^2-pir)2,t^2

Passo 3

A componente na direção de j é constante -1, logo
ddt(-1)=0

Passo 4

A componente na direção de k é ln(1+3t). Usando regra da cadeia:
ddtlnl(1+3tr) =11+3tcdot 3 =31+3t

Resposta

r,'(t) =l[cosl(t^2-pir) -tfracsinl(t^2-pir)2,t^2r]i ;+;0,j ;+;31+3t,k
Ou simplesmente
r,'(t) =gl(cosl(t^2-pir) -sinl(t^2-pir)2t^2gr)i +31+3t,k

Exercícios relacionados