Seja gamma:[a, b] R^n uma curva com derivada continua em [a, b]. Definimos o comprimento L(gamma) da curva gamma por
L(gamma)=integrala^b|gamma^prime(t)| d t
Calcule o comprimento da curva dada.
(a) gamma(t)=(t cos t, t sin t), t in[0,2 pi];

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva paramétrica em R^2, definida por gamma(t)=(tcos t,;tsin t) para tin[0,2pi]. O conteúdo que vamos usar é que, para uma curva com derivada contínua,
L(gamma)=integrala^bl|gamma'(t)r|,dt

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada de gamma. Como gamma(t)=(tcos t,;tsin t), aplicando a regra do produto em cada componente, obtemos
gamma'(t)=l(cos t - tsin t,;sin t + tcos tr)

Passo 3

Agora encontramos a norma de gamma'(t). Fazendo
|gamma'(t)|=raiz(cos t - tsin t)^2 + (sin t + tcos t)^2,
expandindo e somando termos, nota-se que os termos mistos se cancelam e que cos^2t+sin^2t=1. Logo
|gamma'(t)|=raiz1 + t^2

Passo 4

Portanto o comprimento é
L(gamma)=integral0^2piraiz1+t^2,dt

Passo 5

Precisamos de uma primitiva de raiz1+t^2. Uma antiderivada padrão é
integral raiz1+t^2,dt = t2raiz1+t^2 ;+;12lnl(t+raiz1+t^2r) + C

Passo 6

Avaliamo-la entre 0 e 2pi:
L(gamma) =[t2raiz1+t^2 + tfrac12lnl(t+raiz1+t^2r)]0^2pi
Em t=2pi isso dá
tfrac2pi2raiz1+(2pi)^2 + tfrac12lnl(2pi+raiz1+4pi^2r),
e em t=0 a soma vale 0 + tfrac12ln(0+1)=0.

Resposta

L(gamma) = piraiz1+4pi^2 ;+;12lnl(2pi+raiz1+4pi^2r)

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