Seja uma curva com derivada continua em . Definimos o comprimento da curva por
Calcule o comprimento da curva dada.
(a) gamma(t)=(t cos t, t sin t), t in[0,2 pi];
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva paramétrica em R^2, definida por gamma(t)=(tcos t,;tsin t) para tin[0,2pi]. O conteúdo que vamos usar é que, para uma curva com derivada contínua,
L(gamma)=integrala^bl|gamma'(t)r|,dt
Passo 2
Calculemos primeiro a derivada de gamma. Como gamma(t)=(tcos t,;tsin t), aplicando a regra do produto em cada componente, obtemos
gamma'(t)=l(cos t - tsin t,;sin t + tcos tr)
Passo 3
Agora encontramos a norma de gamma'(t). Fazendo
|gamma'(t)|=raiz(cos t - tsin t)^2 + (sin t + tcos t)^2,
expandindo e somando termos, nota-se que os termos mistos se cancelam e que cos^2t+sin^2t=1. Logo
|gamma'(t)|=raiz1 + t^2
Passo 4
Portanto o comprimento é
L(gamma)=integral0^2piraiz1+t^2,dt
Passo 5
Precisamos de uma primitiva de raiz1+t^2. Uma antiderivada padrão é
integral raiz1+t^2,dt = t2raiz1+t^2 ;+;12lnl(t+raiz1+t^2r) + C