Determine uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por:
y=c1 cosh 7 x+c2 senh 7 x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral é
y = c1cosh(7x) + c2sinh(7x)
O conteúdo aqui é reconhecermos que cosh e sinh vêm de combinações lineares de exponenciais e, em seguida, formarmos a equação característica.

Passo 2

Vamos usar as definições em termos de exponenciais:
cosh(7x) = e^7x + e^-7x2, sinh(7x) = e^7x - e^-7x2
Isso mostra que as soluções fundamentais são e^7x e e^-7x.

Passo 3

Como a solução geral é combinação linear de e^7x e e^-7x, os raízes da equação característica são r=7 e r=-7. Logo, o polinômio característico é
r^2 - 49 = 0

Passo 4

A EDO linear homogênea associada a esse polinômio é
y'' - 49,y = 0

Resposta

y'' - 49y = 0

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