O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'' - y = cosh x, y(0)=2, y'(0)=12
O conteúdo envolvido é equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea, depois uma solução particular por coeficientes a determinar, e por fim usar as condições iniciais para fixar as constantes.
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea
y''-y=0
montamos a equação característica
lambda^2-1=0Longrightarrowlambda=pm1,
portanto a solução geral homogênea é
yh(x)=C1e^x + C2e^-x
Passo 3
Procuramos uma solução particular de ;y''-y=cosh x. Como
cosh x=e^x+e^-x2
e e^x, e^-x geram a homogênea, usamos o ansatz
yp1=A,x e^x, yp2=B,x e^-x
Calculando
yp1''-yp1=2A,e^x=e^x Longrightarrow A=tfrac12,
yp2''-yp2=-2B,e^-x=e^-x Longrightarrow B=-tfrac12
Logo
yp(x)=yp1+yp2 =tfrac12,x e^x-tfrac12,x e^-x =xsinh x
Passo 4
A solução geral do PVI é
y(x)=C1e^x + C2e^-x + xsinh x
Derivando:
y'(x)=C1e^x - C2e^-x + sinh x + xcosh x
Impondo as condições iniciais x=0, onde sinh0=0, cosh0=1: