Calcule a derivada das funções vetoriais a seguir:
F(t)=(arctan (t^2+1), 2 t ln (t^2), 3 t)

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
F(t)=l(arctan(t^2+1),;2tln(t^2),;3tr)
e pede a derivada F'(t). O conteúdo é derivação de funções vetoriais, que se faz componente a componente, aplicando regra da cadeia, produto e derivada de log.

Passo 2

Para a primeira componente f1(t)=arctan(t^2+1), aplicamos a regra da cadeia. Se u(t)=t^2+1, então
f1'(t)=u'(t)1+u(t)^2 =2t1+(t^2+1)^2

Passo 3

Para a segunda componente f2(t)=2tln(t^2), usamos a regra do produto:
g(t)=2t, h(t)=ln(t^2)
g'(t)=2, h'(t)=2tt^2=2t
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f2'(t)=g'(t),h(t)+g(t),h'(t) =2ln(t^2)+2tcdot2t =2ln(t^2)+4

Passo 4

Para a terceira componente f3(t)=3t, a derivada é imediata:
f3'(t)=3

Passo 5

Reunindo todas as componentes, obtemos
F'(t)=l(2t1+(t^2+1)^2,;2ln(t^2)+4,;3r)

Resposta

F'(t)=(2t1+(t^2+1)^2,;2ln(t^2)+4,;3)

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