Seja
. Calcule
e determine o módulo do vetor tangente em
.
Seja \vec{r}(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \sin t\right). Calcule \vec{r}^{\'}(t) e determine o módulo do vetor tangente em t=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \vec{r}(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t\bigr)
e pede (1) a derivada vetorial \vec{r}'(t) e (2) o módulo de \vec{r}'(t) em t=0. Vamos usar derivada componente a componente, aplicando regra do produto e derivada de exponencial.

Passo 2

As componentes de \vec{r}(t) são
x(t)=e^{t}\cos t, \quad y(t)=e^{t}\sin t.
Derivando cada uma:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\cos t\bigr) =e^{t}\cos t - e^{t}\sin t =e^{t}(\cos t - \sin t),
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\sin t\bigr) =e^{t}\sin t + e^{t}\cos t =e^{t}(\sin t + \cos t).
Logo,
\vec{r}'(t)=\bigl(e^{t}(\cos t - \sin t),\;e^{t}(\sin t + \cos t)\bigr).

Passo 3

Para t=0, substituímos na expressão de \vec{r}'(t):
\vec{r}'(0)=\bigl(e^{0}(\cos 0 - \sin 0),\;e^{0}(\sin 0 + \cos 0)\bigr) =(1\cdot(1-0),\;1\cdot(0+1)) =(1,1).

Passo 4

O módulo do vetor \vec{r}'(0) é
\|\vec{r}'(0)\| =\sqrt{1^{2}+1^{2}} =\sqrt{2}.

Resposta

\vec{r}'(t)=\bigl(e^{t}(\cos t - \sin t),\;e^{t}(\sin t + \cos t)\bigr) \|\vec{r}'(0)\|=\sqrt{2}

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