Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0
a) Encontre a solução geral da equação.
b) Encontre a solução (ou as soluções) tal(is) que \lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + y' = 0
e pede (a) a solução geral e (b) aquelas soluções que satisfazem \lim_{t\to\infty}y(t)=1. Para resolver vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada, substituindo y(t)=e^{\lambda t}:
\lambda^2 + \lambda = 0.
Resolvendo, fatoramos \lambda(\lambda+1)=0, obtendo as raízes
\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = -1.

Passo 3

Pelas raízes distintas, a solução geral da equação é
y(t) = C_1 e^{0\cdot t} + C_2 e^{-t} = C_1 + C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para garantir \lim_{t\to\infty}y(t)=1, observamos que e^{-t}\to0 quando t\to\infty. Logo o termo constante deve ser igual a 1, ou seja C_1=1. Assim todas as soluções com esse comportamento são
y(t) = 1 + C_2 e^{-t},
com C_2\in\mathbb{R}.

Resposta

a) \displaystyle y(t)=C_1 + C_2 e^{-t}.
b) \displaystyle y(t)=1 + C_2 e^{-t}, com C_2 arbitrário, garante \lim_{t\to\infty}y(t)=1.

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