Considere a equação diferencial
a) Encontre a solução geral da equação.
b) Encontre a solução (ou as soluções) tal(is) que
.
b) Encontre a solução (ou as soluções) tal(is) que
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
e pede (a) a solução geral e (b) aquelas soluções que satisfazem
. Para resolver vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Formamos a equação característica associada, substituindo
:
Resolvendo, fatoramos
, obtendo as raízes
Passo 3
Pelas raízes distintas, a solução geral da equação é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Para garantir
, observamos que
quando
. Logo o termo constante deve ser igual a
, ou seja
. Assim todas as soluções com esse comportamento são
com
.
Resposta
a)
b) com
arbitrário, garante
.
b)