Calcule a derivada indicada.
\displaystyle y=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{4}}{(2 x+1)^{3}(3 x-1)^{5}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{(x^2+1)^4}{(2x+1)^3\,(3x-1)^5}.
O conteúdo aqui é diferencial de funções do tipo “produto/razão” de potências. Para evitar contas extensas com regra do quociente e produto, vamos usar diferenciação logarítmica, que consiste em tomar \ln dos dois lados e depois derivar.

Passo 2

Tomando logaritmo natural em ambos os lados, definimos
\ln y = 4\ln(x^2+1)\;-\;3\ln(2x+1)\;-\;5\ln(3x-1).
Esta etapa transforma produtos e quocientes em somas e diferenças de logaritmos, simplificando a derivação.

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. Como \frac{d}{dx}[\ln y]=\frac{y'}{y}, obtemos
\frac{y'}{y} =4\cdot\frac{d}{dx}[\ln(x^2+1)] \;-\;3\cdot\frac{d}{dx}[\ln(2x+1)] \;-\;5\cdot\frac{d}{dx}[\ln(3x-1)].
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dx}[\ln(x^2+1)] = \frac{2x}{x^2+1},\quad \frac{d}{dx}[\ln(2x+1)] = \frac{2}{2x+1},\quad \frac{d}{dx}[\ln(3x-1)] = \frac{3}{3x-1}.
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\frac{y'}{y} =4\cdot\frac{2x}{x^2+1} \;-\;3\cdot\frac{2}{2x+1} \;-\;5\cdot\frac{3}{3x-1} =\frac{8x}{x^2+1}-\frac{6}{2x+1}-\frac{15}{3x-1}.

Passo 4

Isolando y', multiplica-se ambos os lados por y:
y' = y\Bigl(\frac{8x}{x^2+1}-\frac{6}{2x+1}-\frac{15}{3x-1}\Bigr).
Substituindo y=\frac{(x^2+1)^4}{(2x+1)^3(3x-1)^5}, temos a expressão final.

Resposta

y' = \frac{(x^2+1)^4}{(2x+1)^3(3x-1)^5}\Bigl(\frac{8x}{x^2+1}-\frac{6}{2x+1}-\frac{15}{3x-1}\Bigr).

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