Considere o sistema linear:
\begin{cases}5 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}= & 7 \\\\ -x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}= & 3 \\\\ 2 x_{1}-3 x_{2}+10 x_{3}= & -1\end{cases}
Entre os métodos interativos que você conhece, qual você aplicaria? Por quê? Resolva-o pelo escolhido com erro relativo <10^{-2} e x^{(0)}=\left(\begin{array}{lll}1,4 & 0,75 & -0,1\end{array}\right)^{t}.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 5x_{1}+2x_{2}+x_{3}=7,\\\\ -\,x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=3,\\\\ 2x_{1}-3x_{2}+10x_{3}=-1, \end{cases}
pede que a gente escolha um método iterativo, justifique a escolha e encontre a solução a partir de
x^{(0)}=\begin{pmatrix}1,4\\\ 0,75\\\ -0,1\end{pmatrix}
com erro relativo abaixo de 10^{-2}. O conteúdo é de métodos de solução iterativa de sistemas lineares, em particular Jacobi e Gauss–Seidel.

Passo 2

Para garantir convergência, verificamos se o sistema é estritamente diagonalmente dominante. Na linha 1 temos \lvert5\rvert>2+1=3, na linha 2 \lvert4\rvert>1+2=3 e na linha 3 \lvert10\rvert>2+3=5. Logo há dominância estrita em todas as linhas, o que assegura convergência tanto de Jacobi quanto de Gauss–Seidel.

Passo 3

Escolho o método de Gauss–Seidel porque, usando valores atualizados assim que são calculados, tende a convergir mais rápido que Jacobi. As fórmulas de iteração são:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(7-2x_{2}^{(k)}-x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{4}\bigl(3 + x_{1}^{(k+1)}-2x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(-1 -2x_{1}^{(k+1)}+3x_{2}^{(k+1)}\bigr).

Passo 4

Aplicando as iterações até o erro relativo \displaystyle\frac{\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty}{\|x^{(k+1)}\|_\infty}<10^{-2}:
Iteração k=0\to1:
x^{(1)}=\begin{pmatrix} 1{,}12\\\ 1{,}08\\\ 0 \end{pmatrix}.
Iteração k=1\to2:
x^{(2)}=\begin{pmatrix} 0{,}968\\\ 0{,}992\\\ 0{,}004 \end{pmatrix}.
Iteração k=2\to3:
x^{(3)}=\begin{pmatrix} 1{,}0024\\\ 0{,}9986\\\ -0{,}0009 \end{pmatrix}.
Iteração k=3\to4:
x^{(4)}=\begin{pmatrix} 1{,}00074\\\ 1{,}00036\\\ -0{,}00004 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calculamos na última iteração
\|x^{(4)}-x^{(3)}\|_\infty =\max\bigl(|1{,}00074-1{,}0024|,\;|1{,}00036-0{,}9986|,\;|{-}0{,}00004+0{,}0009|\bigr) =0{,}00176,
\|x^{(4)}\|_\infty=1{,}00074,
então o erro relativo é
\frac{0{,}00176}{1{,}00074}\approx1{,}76\times10^{-3}<10^{-2}.
Portanto, paramos em k=4.

Resposta

Apliquei o método de Gauss–Seidel (mais rápido que Jacobi em matrizes diagonalmente dominantes). A solução aproximada com erro relativo abaixo de 10^{-2} é
x\approx\begin{pmatrix} 1{,}00074\\\\ 1{,}00036\\\\ -0{,}00004 \end{pmatrix},
obtida em 4 iterações a partir de x^{(0)}=(1{,}4,\;0{,}75,\;-0{,}1)^{t}.

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