Questão 1: Enuncie e ilustre o Teorema de Green. Apresente um exemplo (Vale 1,0 pt.)
Passo 1
O enunciado pede para enunciar e ilustrar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial num contorno fechado C à integral dupla do rotacional desse campo sobre a região D que C delimita. Para isso precisaremos definir a região D, seu contorno C orientado positivamente (no sentido anti-horário) e as funções escalares P(x,y) e Q(x,y) que compõem o campo \bigl(P,Q\bigr). Em seguida faremos uma interpretação geométrica e, por fim, daremos um exemplo numérico.
Passo 2
Formalmente, seja D\subset\mathbb{R}^2 uma região aberta cujos contornos de fronteira são curvas simples, fechadas e suaves, e seja C=\partial D orientada positivamente. Se P e Q têm derivadas parciais contínuas num vizinhança de \overline{D}, então vale o Teorema de Green:
Para ilustrar, imagine dividir D em muitos retângulos pequenos de dimensão dx\times dy. Em cada retângulo aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo nas direções x e y, o que faz com que as contribuições de cada aresta interna se cancelem par a par. Sobram apenas as arestas do contorno externo C, e o somatório das pequenas rotações internas (o rotacional) se transforma na integral dupla sobre D. Assim, a circulação total em C reflete o “soma de vorticidades” dentro de D.
Passo 4
Exemplo: seja P(x,y)=-y e Q(x,y)=x e C o círculo unitário x^2+y^2=1 orientado anti-horário.