Questão 1: Enuncie e ilustre o Teorema de Green. Apresente um exemplo (Vale 1,0 pt.)

Passo 1

O enunciado pede para enunciar e ilustrar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial num contorno fechado C à integral dupla do rotacional desse campo sobre a região D que C delimita. Para isso precisaremos definir a região D, seu contorno C orientado positivamente (no sentido anti-horário) e as funções escalares P(x,y) e Q(x,y) que compõem o campo \bigl(P,Q\bigr). Em seguida faremos uma interpretação geométrica e, por fim, daremos um exemplo numérico.

Passo 2

Formalmente, seja D\subset\mathbb{R}^2 uma região aberta cujos contornos de fronteira são curvas simples, fechadas e suaves, e seja C=\partial D orientada positivamente. Se P e Q têm derivadas parciais contínuas num vizinhança de \overline{D}, então vale o Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Para ilustrar, imagine dividir D em muitos retângulos pequenos de dimensão dx\times dy. Em cada retângulo aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo nas direções x e y, o que faz com que as contribuições de cada aresta interna se cancelem par a par. Sobram apenas as arestas do contorno externo C, e o somatório das pequenas rotações internas (o rotacional) se transforma na integral dupla sobre D. Assim, a circulação total em C reflete o “soma de vorticidades” dentro de D.

Passo 4

Exemplo: seja P(x,y)=-y e Q(x,y)=x e C o círculo unitário x^2+y^2=1 orientado anti-horário.
  1. Cálculo direto da integral de linha:
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad t\in[0,2\pi],
dx=-\sin t\,dt,\quad dy=\cos t\,dt,
\oint_C P\,dx+Q\,dy =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-\sin t\cdot(-\sin t)+\cos t\cdot\cos t\bigr)\,dt =\int_{0}^{2\pi}(\sin^2t+\cos^2t)\,dt =\int_{0}^{2\pi}1\,dt =2\pi.
  1. Pelo Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}(x)-\frac{\partial}{\partial y}(-y) =1-(-1)=2,
e como D é o disco unitário de área \pi\cdot1^2=\pi,
\iint_D 2\,dA =2\cdot\pi =2\pi.
Ambos os métodos concordam: \oint_CP\,dx+Q\,dy=2\pi.

Resposta

O Teorema de Green afirma que para um campo \bigl(P,Q\bigr) com derivadas contínuas e um contorno fechado C de uma região D temos
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
No exemplo com P=-y, Q=x e C círculo unitário, obtemos
\oint_CP\,dx+Q\,dy =2\pi.

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