Calcule a derivada, indicando a regra de derivação inicialmente empregada.
\frac{d}{d r}\left(\tan ^{3}(r) \operatorname{sec} (r)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \tan^{3}(r)\operatorname{sec}(r) em relação a r. Vamos usar inicialmente a regra do produto, pois temos o produto de duas funções:
f(r)=\tan^{3}(r), \quad g(r)=\operatorname{sec}(r).

Passo 2

Pela regra do produto,
\frac{d}{dr}\bigl[f(r)\,g(r)\bigr] = f'(r)\,g(r) + f(r)\,g'(r).
Aqui f(r)=\tan^{3}(r) e g(r)=\operatorname{sec}(r).

Passo 3

Calculamos f'(r) usando a regra da cadeia, pois f(r)=(\tan r)^{3}. Se u(r)=\tan r, então f(r)=u(r)^{3} e
f'(r) =3\,u(r)^{2}\,u'(r) =3\,\tan^{2}(r)\,\frac{d}{dr}[\tan(r)] =3\,\tan^{2}(r)\,\operatorname{sec}^{2}(r).

Passo 4

Calculamos g'(r), sabendo que a derivada de \operatorname{sec}(r) é
g'(r) =\frac{d}{dr}[\operatorname{sec}(r)] =\operatorname{sec}(r)\,\tan(r).

Passo 5

Substituindo em \frac{d}{dr}[f(r)g(r)],
\frac{d}{dr}\bigl(\tan^{3}(r)\operatorname{sec}(r)\bigr) = \bigl(3\,\tan^{2}(r)\operatorname{sec}^{2}(r)\bigr)\operatorname{sec}(r) + \tan^{3}(r)\,\bigl(\operatorname{sec}(r)\tan(r)\bigr).

Passo 6

Agora simplificamos termo a termo:
3\,\tan^{2}(r)\operatorname{sec}^{2}(r)\operatorname{sec}(r) =3\,\tan^{2}(r)\operatorname{sec}^{3}(r), \quad \tan^{3}(r)\operatorname{sec}(r)\tan(r) =\tan^{4}(r)\operatorname{sec}(r).
Logo a derivada final é
\frac{d}{dr}\bigl(\tan^{3}(r)\operatorname{sec}(r)\bigr) =3\,\tan^{2}(r)\operatorname{sec}^{3}(r)+\tan^{4}(r)\operatorname{sec}(r).

Resposta

\frac{d}{dr}\bigl(\tan^{3}(r)\operatorname{sec}(r)\bigr) =3\,\tan^{2}(r)\operatorname{sec}^{3}(r)+\tan^{4}(r)\operatorname{sec}(r).

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