Calcule a derivada, indicando a regra de derivação inicialmente empregada.
\frac{d}{d t}\left(\operatorname{ctg}^{-1}\left(\sqrt{t^{2}+4}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a t da função
f(t)=\operatorname{ctg}^{-1}\bigl(\sqrt{t^{2}+4}\bigr).
O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia em composições de funções, nesse caso envolvendo a função inversa cotangente e a raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro identificamos a regra de derivação de \operatorname{ctg}^{-1}(u) em função de u. Se g(u)=\operatorname{ctg}^{-1}(u), então
g'(u)=-\frac{1}{1+u^{2}}.
Esse é o passo de derivada da função inversa da cotangente.

Passo 3

Agora definimos u(t)=\sqrt{t^{2}+4}. Para derivar u(t), usamos a regra da raiz:
u(t)=(t^{2}+4)^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad u'(t)=\frac{1}{2}(t^{2}+4)^{-1/2}\cdot 2t =\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia em f(t)=g\bigl(u(t)\bigr):
f'(t)=g'\bigl(u(t)\bigr)\cdot u'(t) =-\frac{1}{1+\bigl(u(t)\bigr)^{2}}\cdot\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}.
Como \bigl(u(t)\bigr)^{2}=(\sqrt{t^{2}+4})^{2}=t^{2}+4, segue
f'(t) =-\frac{1}{1+(t^{2}+4)}\cdot\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}} =-\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}\,(t^{2}+5)}.

Resposta

f'(t)=-\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}\,\bigl(t^{2}+5\bigr)}.

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