Calcule a derivada, indicando a regra de derivação inicialmente empregada.
\frac{d}{d x}\left(\left(x^{4}-x\right)^{-3}\left(5-x^{2}\right)^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (x^{4}-x)^{-3}\,(5 - x^{2})^{-1}.
Vamos usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia.

Passo 2

Sejam
u(x) = (x^{4}-x)^{-3},
v(x) = (5 - x^{2})^{-1}.
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Para u(x)=h(x)^{-3} com h(x)=x^{4}-x e h'(x)=4x^{3}-1, a regra da cadeia dá
u'(x) = -3\,h(x)^{-4}\,h'(x) = -3\,(4x^{3}-1)\,(x^{4}-x)^{-4}.

Passo 4

Para v(x)=g(x)^{-1} com g(x)=5 - x^{2} e g'(x)=-2x, a regra da cadeia dá
v'(x) = -1\cdot g'(x)\,g(x)^{-2} = -(-2x)\,(5 - x^{2})^{-2} = 2x\,(5 - x^{2})^{-2}.

Passo 5

Substituindo em f'(x),
f'(x) = -3\,(4x^{3}-1)\,(x^{4}-x)^{-4}\,(5 - x^{2})^{-1} \;+\;2x\,(x^{4}-x)^{-3}\,(5 - x^{2})^{-2}.
Extraindo o fator comum (x^{4}-x)^{-4}\,(5 - x^{2})^{-2} e agrupando, chega-se a
f'(x) = (x^{4}-x)^{-4}\,(5 - x^{2})^{-2}\bigl[\,14x^{5} - 60x^{3} - 5x^{2} + 15\bigr].

Resposta

f'(x) = \frac{14x^{5} - 60x^{3} - 5x^{2} + 15}{(x^{4}-x)^{4}\,(5 - x^{2})^{2}}.

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