Certo ou errado? Justifique em poucas palavras.
\int \frac{-15(x+3)^{2}}{(x-2)^{4}} d x=\left(\frac{x+3}{x-2}\right)^{3}+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\int \frac{-15(x+3)^{2}}{(x-2)^{4}}\,dx =\left(\frac{x+3}{x-2}\right)^{3}+C.

Passo 2

Fazendo a substituição
u=\frac{x+3}{x-2} \quad\implies\quad du=\frac{(x-2)\cdot1-(x+3)\cdot1}{(x-2)^{2}}\,dx =-5\,\frac{dx}{(x-2)^{2}},
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\frac{dx}{(x-2)^{2}}=-\frac{du}{5}, \qquad \frac{(x+3)^{2}}{(x-2)^{4}}=\frac{u^{2}}{(x-2)^{2}}.

Passo 3

Substituindo no integrando:
\int \frac{-15(x+3)^{2}}{(x-2)^{4}}\,dx =\int -15\,u^{2}\,\frac{dx}{(x-2)^{2}} =\int -15\,u^{2}\Bigl(-\frac{du}{5}\Bigr) =\int 3\,u^{2}\,du =u^{3}+C.

Resposta

Certo, pois com u=(x+3)/(x-2) a integral reduz a \int3u^2\,du=u^3+C, isto é \bigl((x+3)/(x-2)\bigr)^3+C.

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