Questão 1 (2.5 pts):
Esboce o gráfico da função
segundo o roteiro abaixo.
a) Determine o domínio da função.
b) Determine o(s) ponto(s) crítico(s) da função (se houver).
c) Determine o(s) intervalo(s) de crescimento (se houver) e decrescimento de
(se houver). ?
d) Determine o(s) extremo(s) relativos de
(se houver).
e) Determine o(s) intervalo(s) onde o gráfico de
é côncavo para baixo (se houver) e côncavo para cima (se houver).
f) Determine o(s) pontos de inflexão (se houver).
g) Calcule
e
.
h) Indique o conjunto imagem de
.
a) Determine o domínio da função.
b) Determine o(s) ponto(s) crítico(s) da função (se houver).
c) Determine o(s) intervalo(s) de crescimento (se houver) e decrescimento de
d) Determine o(s) extremo(s) relativos de
e) Determine o(s) intervalo(s) onde o gráfico de
f) Determine o(s) pontos de inflexão (se houver).
g) Calcule
h) Indique o conjunto imagem de
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
seguindo o roteiro de análise de funções: domínio, pontos críticos, variação, extremos, concavidade, pontos de inflexão, limites no infinito e conjunto imagem. Vamos usar derivadas primeira e segunda para encontrar essas características.
Passo 2
Para determinar o domínio observamos que
está bem definido para todo
. Logo o domínio é
Passo 3
Calculamos a primeira derivada:
Anulando
dá
Como a derivada existe para todo
, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Analisamos o sinal de
:
- Para
: implica , então é decrescente em . - Para
: implica , então é crescente em .
Passo 5
Como
muda de decrescente para crescente em
, há um mínimo relativo em
. O valor da função neste ponto é
Passo 6
Calculamos a segunda derivada:
Como
para todo
, temos
em
e em
. Logo:
-
é côncava para cima em . - Não há região de concavidade para baixo.
- Não ocorre troca de sinal em
, portanto não há ponto de inflexão.
Passo 7
Analisamos os limites nos infinitos:
pois o termo
domina em módulo.
Passo 8
Como
em ambos os extremos e atinge mínimo
em
, o conjunto imagem é
Resposta
(a) Domínio:
.
(b) Ponto crítico: .
(c) Decrescente em , crescente em
.
(d) Extremo relativo: mínimo em .
(e) Concavidade: côncava para cima em , nenhuma região côncava para baixo.
(f) Pontos de inflexão: não há.
(g) ,
.
(h) Imagem: .
(b) Ponto crítico:
(c) Decrescente em
(d) Extremo relativo: mínimo em
(e) Concavidade: côncava para cima em
(f) Pontos de inflexão: não há.
(g)
(h) Imagem: