Questão 1 (2.5 pts):

Esboce o gráfico da função f(x)=3 x^{4 / 3}-4 x segundo o roteiro abaixo.
a) Determine o domínio da função.
b) Determine o(s) ponto(s) crítico(s) da função (se houver).
c) Determine o(s) intervalo(s) de crescimento (se houver) e decrescimento de f (se houver). ?
d) Determine o(s) extremo(s) relativos de f (se houver).
e) Determine o(s) intervalo(s) onde o gráfico de f é côncavo para baixo (se houver) e côncavo para cima (se houver).
f) Determine o(s) pontos de inflexão (se houver).
g) Calcule \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) e \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x).
h) Indique o conjunto imagem de f.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de f(x)=3x^{4/3}-4x seguindo o roteiro de análise de funções: domínio, pontos críticos, variação, extremos, concavidade, pontos de inflexão, limites no infinito e conjunto imagem. Vamos usar derivadas primeira e segunda para encontrar essas características.

Passo 2

Para determinar o domínio observamos que x^{4/3}=(x^{1/3})^4 está bem definido para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4/3}-4x\bigr) =3\cdot\frac{4}{3}x^{1/3}-4 =4x^{1/3}-4.
Anulando f'(x)=0
4x^{1/3}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{1/3}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Como a derivada existe para todo x, o único ponto crítico é x=1.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=4x^{1/3}-4:
  • Para x<1: x^{1/3}<1 implica f'(x)<0, então f é decrescente em (-\infty,1).
  • Para x>1: x^{1/3}>1 implica f'(x)>0, então f é crescente em (1,\infty).

Passo 5

Como f muda de decrescente para crescente em x=1, há um mínimo relativo em x=1. O valor da função neste ponto é
f(1)=3\cdot1^{4/3}-4\cdot1=3-4=-1.

Passo 6

Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{1/3}-4\bigr) =4\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3} =\frac{4}{3}\,x^{-2/3} =\frac{4}{3x^{2/3}}.
Como x^{2/3}>0 para todo x\neq0, temos f''(x)>0 em (-\infty,0) e em (0,\infty). Logo:
  • f é côncava para cima em (-\infty,0)\cup(0,\infty).
  • Não há região de concavidade para baixo.
  • Não ocorre troca de sinal em f'', portanto não há ponto de inflexão.

Passo 7

Analisamos os limites nos infinitos:
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\bigl(3x^{4/3}-4x\bigr)=+\infty,
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\lim_{x\to-\infty}\bigl(3|x|^{4/3}+4|x|\bigr)=+\infty,
pois o termo 3x^{4/3} domina em módulo.

Passo 8

Como f(x)\to+\infty em ambos os extremos e atinge mínimo -1 em x=1, o conjunto imagem é
[-1,\infty).

Resposta

(a) Domínio: \mathbb{R}.
(b) Ponto crítico: x=1.
(c) Decrescente em (-\infty,1), crescente em (1,\infty).
(d) Extremo relativo: mínimo em \bigl(1,-1\bigr).
(e) Concavidade: côncava para cima em (-\infty,0)\cup(0,\infty), nenhuma região côncava para baixo.
(f) Pontos de inflexão: não há.
(g) \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
(h) Imagem: [-1,\infty).

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