Calcule a derivada de:
(j)
(j)
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
$$
y = \bigl(1 + x2\bigr){e^{-x}}$$
Esse é um problema de diferenciação de função na forma , então a gente vai usar diferenciação logarítmica e, depois, cadeia e produto.
Esse é um problema de diferenciação de função na forma
Passo 2
Vamos aplicar logaritmo em ambos os lados para simplificar a potência. Definindo
, temos:
Passo 3
Agora diferenciamos implicitamente em relação a
. Do lado esquerdo vem
. Do lado direito usamos produto entre
e
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto:
Passo 4
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
. Lembrando que
, obtemos:
Passo 5
Para deixar mais elegante, fatoramos
e reescrevemos
:
Resposta
y’ = (1 + x2){e^{-x}} ;e^{-x};\Bigl(\frac{2x}{1 + x^2} - \ln(1 + x^2)\Bigr)