Calcule a derivada de:
(j) y=(1+x^2)^e^-x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
$$
y = \bigl(1 + x2\bigr){e^{-x}}$$
Esse é um problema de diferenciação de função na forma y = l(1 + x^2r)^e^-x, então a gente vai usar diferenciação logarítmica e, depois, cadeia e produto.

Passo 2

Vamos aplicar logaritmo em ambos os lados para simplificar a potência. Definindo y>0, temos:
ln y = e^-x cdot lnl(1 + x^2r)

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo vem y'y. Do lado direito usamos produto entre e^-x e ln(1+x^2):
  • Derivada de e^-x é -e^-x.
  • Derivada de ln(1+x^2) é 2x1+x^2.
    Portanto:
y'y = -e^-x lnl(1+x^2r) + e^-x cdot 2x1+x^2

Passo 4

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y. Lembrando que y = (1+x^2)^e^-x, obtemos:
y' = y l[-e^-x ln(1+x^2) + e^-x 2x1+x^2r]

Passo 5

Para deixar mais elegante, fatoramos e^-x e reescrevemos y:
y' = (1+x^2)^e^-x ;e^-x;l(2x1+x^2 - ln(1+x^2)r)

Resposta

y’ = (1 + x2){e^{-x}} ;e^{-x};\Bigl(\frac{2x}{1 + x^2} - \ln(1 + x^2)\Bigr)

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