Calcule a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
(b) Se z=x y^{2}+2 y, x=e^{u} \cos v, y=e^{u} \operatorname{sen} v, calcule \frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial v}.

Passo 1

O enunciado define
z = x\,y^{2} + 2\,y,
com as trocas de variáveis
x = e^{u}\cos v, \quad y = e^{u}\sin v.
O objetivo é calcular as derivadas parciais \partial z/\partial u e \partial z/\partial v usando a regra da cadeia. Para isso, vamos primeiro achar \partial z/\partial x e \partial z/\partial y, depois as derivadas de x e y em relação a u e v, e enfim aplicar a fórmula da cadeia.

Passo 2

Derivamos z em relação a x e a y:
\frac{\partial z}{\partial x} = y^{2}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = 2\,x\,y + 2.

Passo 3

Derivamos x e y em relação a u:
\frac{\partial x}{\partial u} = e^{u}\cos v, \qquad \frac{\partial y}{\partial u} = e^{u}\sin v.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u}.
Substituindo,
\frac{\partial z}{\partial u} = y^{2}\,(e^{u}\cos v) + \bigl(2\,x\,y+2\bigr)\,(e^{u}\sin v).
Agora substituímos x=e^{u}\cos v e y=e^{u}\sin v para simplificar:
y^{2}=e^{2u}\sin^{2}v, \quad 2\,x\,y+2 = 2\,e^{2u}\cos v\sin v+2.
Logo
\frac{\partial z}{\partial u} = e^{u}\cos v\,(e^{2u}\sin^{2}v) + e^{u}\sin v\,\bigl(2\,e^{2u}\cos v\sin v+2\bigr) =3\,e^{3u}\sin^{2}v\cos v+2\,e^{u}\sin v.

Passo 5

Derivamos x e y em relação a v:
\frac{\partial x}{\partial v} = -\,e^{u}\sin v, \qquad \frac{\partial y}{\partial v} = e^{u}\cos v.

Passo 6

De novo pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v},
ou seja
\frac{\partial z}{\partial v} = y^{2}\,(-e^{u}\sin v) + \bigl(2\,x\,y+2\bigr)\,(e^{u}\cos v).
Substituindo x e y em termos de u,v e simplificando,
\frac{\partial z}{\partial v} = -\,e^{3u}\sin^{3}v + 2\,e^{3u}\cos^{2}v\sin v + 2\,e^{u}\cos v = e^{3u}\sin v\bigl(2\cos^{2}v-\sin^{2}v\bigr) +2\,e^{u}\cos v.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial u} =3\,e^{3u}\sin^{2}v\cos v+2\,e^{u}\sin v, \qquad \frac{\partial z}{\partial v} =e^{3u}\sin v\bigl(2\cos^{2}v-\sin^{2}v\bigr) +2\,e^{u}\cos v.

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