Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
(a) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{2 x^{4}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite no ponto (0,0) da função
f(x,y)=\frac{x^{2}y}{2x^{4}-y^{2}}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis quando o denominador e o numerador tendem a zero. Para mostrar que o limite não existe, basta encontrar duas curvas de aproximação que deem resultados diferentes.

Passo 2

Aproximando pela reta y=mx, com m\neq0, temos
f(x,mx) =\frac{x^{2}(m x)}{2x^{4}-(m x)^{2}} =\frac{m x^{3}}{2x^{4}-m^{2}x^{2}} =\frac{m x}{2x^{2}-m^{2}}.
Como x\to0, o numerador \,m x\to0 e o denominador \,2x^{2}-m^{2}\to -m^{2}\neq0. Logo
\lim_{x\to0}f(x,mx)=0.

Passo 3

Agora aproximamos pela parábola y=kx^{2}. Então
f(x,kx^{2}) =\frac{x^{2}(k x^{2})}{2x^{4}-(k x^{2})^{2}} =\frac{k x^{4}}{2x^{4}-k^{2}x^{4}} =\frac{k}{2-k^{2}},
que é um valor constante que depende de k. Para cada k diferente obtemos um valor diferente:
\lim_{x\to0}f(x,kx^{2})=\frac{k}{2-k^{2}}.

Passo 4

Como pela reta y=mx o limite é 0 e pela parábola y=kx^{2} o limite é \tfrac{k}{2-k^{2}} (variando com k), não há um valor único. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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