Calcule a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
(a) Se z=x^{2}-y^{2}, x=2-2 t, y=3-t^{2}, calcule \frac{d z}{d t}.

Passo 1

O enunciado define a função composta
z = x^2 - y^2,
com as parametrizações
x = 2 - 2t, \qquad y = 3 - t^2.
O que precisamos é calcular a derivada total \tfrac{dz}{dt} usando a regra da cadeia:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de z em relação a x e a y.
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -2y.

Passo 3

Agora obtemos as derivadas de x e y em relação a t.
\frac{dx}{dt} = -2, \qquad \frac{dy}{dt} = -2t.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} = 2x\cdot(-2) + (-2y)\cdot(-2t).

Passo 5

Substituindo x = 2 - 2t e y = 3 - t^2:
\frac{dz}{dt} = -4x + 4ty = -4(2 - 2t) + 4t\,(3 - t^2).
Desenvolvendo e somando termos semelhantes:
-4(2 - 2t) = -8 + 8t, \qquad 4t(3 - t^2) = 12t - 4t^3,
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\frac{dz}{dt} = \bigl(-8 + 8t\bigr) + \bigl(12t - 4t^3\bigr) = -8 + 20t - 4t^3.

Resposta

\frac{dz}{dt} = -8 + 20t - 4t^3.

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